12 Bài tập Tính giá trị và rút gọn biểu thức lượng giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$A = 4\sin 60^\circ + 3\cos 150^\circ - \cot 45^\circ = 4.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 3.\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) - 1 = \frac{{\sqrt 3 - 2}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$$B = \cos 0^\circ + \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + ... + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$$

$$= \left( {\cos 0^\circ + \cos 180^\circ } \right) + \left( {\cos 20^\circ + \cos 160^\circ } \right) + ... + \left( {\cos 80^\circ + \cos 100^\circ } \right)$$

$$= \left( {\cos 0^\circ + \cos \left( {180^\circ - 0^\circ } \right)} \right) + \left( {\cos 20^\circ + \cos \left( {180^\circ - 20^\circ } \right)} \right) + ... + \left( {\cos 80^\circ + \cos \left( {180^\circ - 80^\circ } \right)} \right)$$

$$= \left( {\cos 0^\circ - \cos 0^\circ } \right) + \left( {\cos 20^\circ - \cos 20^\circ } \right) + ... + \left( {\cos 80^\circ - \cos 80^\circ } \right)$$

= 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Áp dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$$A = a\sin 90^\circ + b\cos 90^\circ + c\cos 180^\circ$$

= a . 1 + b . 0 + c . (– 1) = a – c.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: $B = 5 - {\sin ^2}90^\circ + 2{\cos ^2}60^\circ - 3{\tan ^2}45^\circ$

$$= 5 - {\left( {\sin 90^\circ } \right)^2} + 2{\left( {\cos 60^\circ } \right)^2} - 3{\left( {\tan 45^\circ } \right)^2}$$

Áp dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$B = 5 - {1^2} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 3.{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 5 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là A.

Áp dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$$C = \sin 45^\circ + 3\cos 60^\circ - 4\tan 30^\circ + 5\cot 120^\circ + 6\sin 135^\circ$$

$= \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 3.\frac{1}{2} - 4.\frac{{\sqrt 3 }}{3} - 5.\frac{{\sqrt 3 }}{3} + 6.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{3}{2} + \frac{{7\sqrt 2 }}{2} - 3\sqrt 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có sin α + cos α = $\sqrt 2$⇒ (sin α + cos α)$^{2}$ = 2

⇔ sin$^{2}$α + 2 sin α . cos α + cos$^{2}$α = 2

⇔ (sin$^{2}$α + cos$^{2}$α) + 2 sin α . cos α = 2

⇔ 1 + 2 sin α . cos α = 2

$\Rightarrow \sin \alpha .\cos \alpha = \frac{{2 - 1}}{2} = \frac{1}{2}$.

Vậy $P = \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

E = tan5° . tan10° . tan15° ... tan75° . tan80° . tan85°

= (tan5° . tan85°) . (tan10° . tan80°) . (tan15°. tan75°) ... (tan40° . tan50°) . tan45°

= (tan5° . tan(90° – 5°)) . (tan10° . tan(90° – 10°)) . (tan15°. tan(90° – 15°)) ... (tan40° . tan(90° – 40°)) . tan45°

= (tan5° . cot5°) . (tan10° . cot10°) . (tan15°. cot15°) ... (tan40° . cot40°) . tan45°

= 1 . 1 . 1 ... 1 . 1

= 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có P = cot1° . cot2° . cot3° ... cot89°

= (cot1° . cot89°) . (cot2° . cot88°) . (cot3° . cot87°) ... (cot44° . cot46°) . cot45°

= (cot1° . cot(90° – 1°)) . (cot2° . cot(90° – 2°)) . (cot3° . cot(90° – 3°)) ... (cot44° . cot(90° – 44°)) . cot45°

= (cot1° . tan1°) . (cot2° . tan2°) . (cot3° . tan3°) ... (cot44° . tan44°) . cot45°

= 1 . 1 . 1 ... 1 . 1 = 1.

Vậy giá trị của biểu thức P là một số nguyên dương.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: Q = sin$^{4}$α – cos$^{4}$α = (sin$^{2}$α + cos$^{2}$α) . (sin$^{2}$α – cos$^{2}$α)

= 1 . (sinα – cosα) . (sinα + cosα)

= $\sqrt 2$(sinα – cosα).

Mặt khác: sin α + cos α = $\sqrt 2$⇒ (sin α + cos α)$^{2}$ = 2

⇔ sin$^{2}$α + 2 sin α . cos α + cos$^{2}$α = 2

⇔ (sin$^{2}$α + cos$^{2}$α) + 2 sin α . cos α = 2

⇔ 1 + 2 sin α . cos α = 2

$\Rightarrow \sin \alpha .\cos \alpha = \frac{{2 - 1}}{2} = \frac{1}{2}$.

Do đó: (sinα – cosα)$^{2}$ = sin$^{2}$α + cos$^{2}$α – 2.sinα.cosα = 1 – 2 . $\frac{1}{2}$ = 0.

Suy ra: sin α – cos α = 0.

Vậy Q = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có $D = {\sin ^2}1^\circ + {\sin ^2}37^\circ + {\sin ^2}53^\circ + {\sin ^2}89^\circ$

$$= \left( {{{\sin }^2}1^\circ + {{\sin }^2}89^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}37^\circ + {{\sin }^2}53^\circ } \right)$$

$$= \left( {{{\sin }^2}1^\circ + {{\sin }^2}\left( {90^\circ - 1^\circ } \right)} \right) + \left( {{{\sin }^2}37^\circ + {{\sin }^2}\left( {90^\circ - 37^\circ } \right)} \right)$$

$$= \left( {{{\sin }^2}1^\circ + {{\left( {\sin \left( {90^\circ - 1^\circ } \right)} \right)}^2}} \right) + \left( {{{\sin }^2}37^\circ + {{\left( {\sin \left( {90^\circ - 37^\circ } \right)} \right)}^2}} \right)$$

$$= \left( {{{\sin }^2}1^\circ + {{\left( {\cos 1^\circ} \right)}^2}} \right) + \left( {{{\sin }^2}37^\circ + {{\left( {\cos 37^\circ} \right)}^2}} \right)$$

$$= \left( {{{\sin }^2}1^\circ + {{\cos }^2}1^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}37^\circ + {{\cos }^2}37^\circ } \right)$$

= 1 + 1 = 2.

Vậy D = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có tan α + cot α = 3 $\Rightarrow {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^2} = 9$

$\Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + 2.\tan \alpha .\cot \alpha + {\cot ^2}\alpha = 9$

$\Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha + 2.1 = 9$

$\Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = 7$.

Vậy tan$^{2}$ α + cot$^{2}$ α = 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Thay x = 30° vào biểu thức đã cho ta được

$$P = 4.\tan 34^\circ .\sin 30^\circ .\cot 146^\circ + \frac{{8{{\tan }^2}\left( { - 27^\circ } \right)}}{{1 + {{\tan }^2}153^\circ }} + 8{\cos ^2}27^\circ$$

$$= 4.\tan 34^\circ .\sin 30^\circ .\cot \left( {180^\circ - 34^\circ } \right) + 8{\left( {\tan \left( { - 27^\circ } \right)} \right)^2}.\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}153^\circ }} + 8{\cos ^2}27^\circ$$

$$= 4\tan 34^\circ .\frac{1}{2}.\left( { - \cot 34^\circ } \right) + 8{\left( { - \tan 27^\circ } \right)^2}.\frac{1}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}153^\circ }}}} + 8{\cos ^2}27^\circ$$

$$= - 2\left( {\tan 34^\circ .\cot 34^\circ } \right) + 8{\tan ^2}27^\circ .{\cos ^2}153^\circ + 8{\cos ^2}27^\circ$$

$= - 2 + 8{\tan ^2}27^\circ .{\left( {\cos \left( {180^\circ - 27^\circ } \right)} \right)^2} + 8{\cos ^2}27^\circ$

$= - 2 + 8.\frac{{{{\sin }^2}27^\circ }}{{{{\cos }^2}27^\circ }}.{\left( { - \cos 27^\circ } \right)^2} + 8{\cos ^2}27^\circ$

$= - 2 + 8.\frac{{{{\sin }^2}27^\circ }}{{{{\cos }^2}27^\circ }}.{\cos ^2}27^\circ + 8{\cos ^2}27^\circ$

$= - 2 + 8{\sin ^2}27^\circ + 8{\cos ^2}27^\circ$

$= - 2 + 8\left( {{{\sin }^2}27^\circ + {{\cos }^2}27^\circ } \right)$

= – 2 + 8 . 1 = – 2 + 8 = 6.

Vậy khi x = 30° thì P = 6.