12 bài tập Tính độ dài đường tròn, cung tròn có lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{\pi Rn}}{{180}} = \frac{{\pi .16n}}{{180}} = 40{,}2$ suy ra n ≈ 144°.

Đáp án đúng là: C

Chu vi C = 2πR = 2π.6 = 12π

Đáp án đúng là: C

Chu vi C = πd = 36π suy ra d = 36.

Vậy đường kính cần tìm là 36 cm.

Đáp án đúng là: A

Xét đường tròn (I) đường kính AB có $\widehat {ADB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Nên AD ⊥ BC. Do đó đáp án B đúng.

Gọi K là trung điểm của AC, suy ra KA = KC = KD. Do đó K thuộc đường tròn đường kính AC. Do đó đáp án C đúng.

Ta có ∆IBD cân tại I có $\widehat B = 60^\circ$, suy ra ∆IBD đều nên $\widehat {DIB} = 60^\circ$.

Độ dài cung nhỏ BD của (I) là:

l = $\frac{{\pi .\frac{5}{2}.60}}{{180^\circ }} = \frac{{5\pi }}{6}$ (cm).

Do đó đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat B$ = 50° nên $\widehat C$ = 90° − 50° = 40°. Do đó A đúng.

Xét đường tròn (I) đường kính AB có $\widehat {BDA} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra $\widehat {DAC} = \widehat B = 50^\circ$ (cùng phụ với góc $\widehat {DAB}$) nên C đúng.

Vì $\widehat {DAC} = \widehat B = 50^\circ$ nên $\widehat {DAB} = 90^\circ - 50^\circ - 40^\circ$ suy ra số đo cung BD nhỏ là:

n° = 2.40° = 80°.

Độ dài cung nhỏ BD của (I) là l = $\frac{{\pi .\frac{4}{2}.80}}{{180}} = \frac{{8\pi }}{9}{\rm{ }}(cm)$ nên B đúng.

Số đo cung lớn BD là 360° − 80° = 280°.

Độ dài cung lớn BD là: l$_{1}$ = $\frac{{\pi .\frac{4}{2}.280}}{{180}} = 3\pi {\rm{ }}(cm)$ nên D sai.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân tại A nên AO vừa là đường cao vừa là phân giác của $\widehat {BAC}$.

Suy ra $\widehat {OAC} = 60^\circ$.

Xét tam giác CAO có OA = OC; $\widehat {OAC} = 60^\circ$ nên ∆CAO đều và

AO = OC = AC = 3 cm.

Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là R = 3 cm.

Chu vi đường tròn (O) là C = 2πR = 6π (cm).

Đáp án đúng là: D

Vì độ dài đường tròn là 4π nên 4π = 2πR suy ra R = 2 cm (R là bán kính đường tròn)

Xét tứ giác ABOC có hai đường chéo AO ⊥ BC tại M là tủng điểm mỗi đường nên tứ giác ABOC là hình thoi.

Suy ra OB = OC = AB, do đó ∆ABO đều đều suy ra $\widehat {AOB} = 60^\circ$, do đó $\widehat {COB} = 120^\circ$.

Suy ra độ dài cung lớn BC là l = $\frac{{\pi .2.240}}{{180}} = \frac{{8\pi }}{3}{\rm{ }}(cm)$.

Đáp án đúng là: C

Độ dài đường tròn là 6π nên 6π = 2πR suy ra R = 3 cm (R là bán kính đường tròn)

Xét tứ giác ABOC hai đường chéo AO ⊥ BC tại M là tủng điểm mỗi đường nên tứ giác ABOC là hình thoi.

Suy ra OB = OC = AB, do đó ∆ABO đều đều suy ra $\widehat {AOB} = 60^\circ$, do đó $\widehat {COB} = 120^\circ$.

Suy ra số đo cung lớn BC là: 360° − 120° = 240°.

Suy ra số đo cung lớn BC là l = $\frac{{\pi .3.240}}{{180}} = 4\pi {\rm{ }}(cm)$.

Đáp án đúng là: A

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác).

Vì tam giác ABC cân tại A nên AO vừa là đường cao vừa là đường phân giác của $\widehat {BAC}$.

Suy ra $\widehat {CAO} = \frac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ$.

Gọi I là giao điểm của AO và BC. Xét tam giác $CAI$ có AC = 4, $\widehat {CAI} = 50^\circ$ nên

$\sin \widehat {CAI} = \frac{{CI}}{{AC}}$ suy ra CI = AC.sin CAI = 4.sin50° (cm)

Xét tam giác OAC cân tại O (vì OA = OC) có $\widehat {OCA} = \widehat {OAC} = 50^\circ$ suy ra

$\widehat {COA} = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$.

Xét tam giác CIO vuông tại I có sinCOI = $\frac{{IC}}{{OC}}$

suy ra OC = $\frac{{IC}}{{\sin COI}} = \frac{{4\sin 50^\circ }}{{\sin 80^\circ }} \approx 3{,}11$.

Nên bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C (đường tròn ngoại tiếp ∆ABC) là R ≈ 3,11 cm.

Chu vi đường tròn (O) là C = 2πR ≈ 6,22π (cm).

Đáp án đúng là: A

Gọi H là giao điểm của OD và BC thì H là trung điểm của BC (do OD ⊥ BC tại H).

Suy ra HC = $\frac{{BC}}{2} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}$.

Xét tam giác vuông HOC có sinHOC = $\frac{{HC}}{{OC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ suy ra $\widehat {HOC} = 60^\circ$, suy ra

$\widehat {BOC} = 120^\circ$.

Độ dài cung nhỏ BC là l = $= \frac{{\pi R.120}}{{180}} = \frac{{2\pi R}}{3}$ (cm)