12 Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số: y = –x$^{2}$ + 4x + 3 có a = –1, b = 4, c = 3.

Ta có:

a = –1 < 0

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{4^2} - 4.( - 1).3} \right]}}{{4.( - 1)}} = 7$

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2.( - 1)}} = 2$

Vậy hàm số y = –x$^{2}$ + 4x + 3 có giá trị lớn nhất là 7 tại x = 2.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số: y = x$^{2}$ + 2x – 4 có a = 1, b = 2, c = – 4.

Ta có:

a = 1 > 0

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{2^2} - 4.1.( - 4)} \right]}}{{4.1}} = - 5$

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 2}}{{2.1}} = - 1$

Vậy hàm số y = x$^{2}$ + 2x – 4 có giá trị nhỏ nhất là –5 tại x = – 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét hàm số: y = –3x$^{2}$ – 2x + 3 có a = –3, b = –2, c = 3.

Ta có:

a = –3 < 0

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 2)}^2} - 4.( - 3).3} \right]}}{{4.( - 3)}} = \frac{{10}}{3}$

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 2)}}{{2.( - 3)}} = - \frac{1}{3}$

Vậy hàm số y = –3x$^{2}$ – 2x + 3 có giá trị lớn nhất là $\frac{{10}}{3}$ tại x = $- \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số: y = –2x$^{2}$ – 12x có a = –2, b = –12, c = 0.

Ta có:

a = –2 < 0

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 12)}^2} - 4.( - 2).0} \right]}}{{4.( - 2)}} = 18$.

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 12)}}{{2.( - 2)}} = - 3$.

Vậy hàm số y = –2x$^{2}$ – 12x có giá trị lớn nhất là 18 tại x = – 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số: y = x$^{2}$ – 5x + 10 có a = 1, b = –5, c = 10

Ta có:

a = 1 > 0

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 5)}^2} - 4.1.10} \right]}}{{4.1}} = \frac{{15}}{4}$

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 5)}}{{2.1}} = \frac{5}{2}$

Vậy hàm số y = x$^{2}$ – 5x + 10 có giá trị nhỏ nhất là $\frac{{15}}{4}$ tại x = $\frac{5}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số: y = 5x$^{2}$ – x – 4 có a = 5, b = – 1, c = – 4

Ta có:

a = 5 > 0

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 1)}^2} - 4.5.( - 4)} \right]}}{{4.5}} = - \frac{{81}}{{20}}$

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 1)}}{{2.5}} = \frac{1}{{10}}$

Vậy hàm số y = 5x$^{2}$ – x – 4 có giá trị nhỏ nhất là $- \frac{{81}}{{20}}$ tại x = $\frac{1}{{10}}$.

Mà $- \frac{{81}}{{20}}$ là một số hữu tỉ âm, do đó đáp án A đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số: y = 4x$^{2}$ – 24x + 3 có a = 4, b = –24, c = 3

Ta có:

a = 4 > 0

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 24)}^2} - 4.4.3} \right]}}{{4.4}} = - 33$

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 24)}}{{2.4}} = 3$

Vậy hàm số y = 4x$^{2}$ – 24x + 3 có giá trị nhỏ nhất là –33 tại x = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số: y = x$^{2}$ – 10x + 9 có a = 1, b = –10, c = 9

Ta có:

a = 1 > 0

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 10)}^2} - 4.1.9} \right]}}{{4.1}} = - 16$

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 10)}}{{2.1}} = 5$

Vậy hàm số y = x$^{2}$ – 10x + 9 có giá trị nhỏ nhất là –16 tại x = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hàm số: y = –x$^{2}$ + 6x + 5 có a = –1, b = 6, c = 5

Ta có:

a = –1 < 0

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{6^2} - 4.( - 1).5} \right]}}{{4.( - 1)}} = 14$

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 6}}{{2.( - 1)}} = 3$

Vậy hàm số y = –x$^{2}$ + 6x + 5 có giá trị lớn nhất là 14 tại x = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hàm số: y = –x$^{2}$ + 3x + 5 có a = –1, b = 3, c = 5

Ta có:

a = –1 < 0

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{3^2} - 4.( - 1).5} \right]}}{{4.( - 1)}} = \frac{{29}}{4}$

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 3}}{{2.( - 1)}} = \frac{3}{2}$

Vậy hàm số y = –x$^{2}$ + 3x + 5 có giá trị lớn nhất là $\frac{{29}}{4}$ tại x = $\frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số: y = x$^{2}$ – x – 3 có a = 1, b = –1, c = –3

Ta có:

a = 1 > 0

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 1)}^2} - 4.1.( - 3)} \right]}}{{4.1}} = - \frac{{13}}{4}$

$\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - ( - 1)}}{{2.1}} = \frac{1}{2}$

Vậy hàm số y = x$^{2}$ – x – 3 có giá trị nhỏ nhất là $\frac{{ - 13}}{4}$ tại x = $\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Loại ngay đáp án B và D vì hệ số a < 0 nên không tồn tại giá trị nhỏ nhất.

Xét hàm số: y = x$^{2}$ – 2x + 4 có:

a = 1 > 0

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{{( - 2)}^2} - 4.1.4} \right]}}{{4.1}} = 3$

Do đó, hàm số y = x$^{2}$ – 2x + 4 có giá trị nhỏ nhất là 3.

Xét hàm số: y = x$^{2}$ + 2x – 2 có:

a = 1 > 0

$\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - ({b^2} - 4ac)}}{{4a}} = \frac{{ - \left[ {{2^2} - 4.1.( - 2)} \right]}}{{4.1}} = - 3$

Do đó, hàm số y = x$^{2}$ + 2x – 2 có giá trị nhỏ nhất là –3.

Ta có: |3| = |–3| = 3.