12 Bài tập Tìm công thức của hàm số bậc hai khi biết đồ thị hàm số (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh S(1; 1) và cắt trục tung tại điểm (0; 2).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

$- \frac{b}{{2a}} = 1$ (2); $- \frac{\Delta }{{4a}} = 1 \Leftrightarrow - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 1$ (3)

c = 2 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: $- \frac{{{b^2} - 4a.2}}{{4a}} = 1 \Leftrightarrow - {b^2} + 8a = 4a \Leftrightarrow - {b^2} + 4a = 0$ (5)

Từ (2) ta có: b = –2a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: –(–2a)$^{2}$ + 4a = 0 ⇔ –4a$^{2}$ + 4a = 0

⇔ 4a(–a + 1) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = 1\,\,(TM)\end{array} \right.$

Với a = 1 ta có: b = –2.1 = –2

Vậy hàm số cần tìm là: y = x$^{2}$ – 2x + 2.

Hướng dẫn giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(2; –2) và cắt trục tung tại điểm (0; 2).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

$- \frac{b}{{2a}} = 2$ (2); $- \frac{\Delta }{{4a}} = - 2 \Leftrightarrow - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = - 2$ (3)

c = 2 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: $- \frac{{{b^2} - 4a.2}}{{4a}} = - 2 \Leftrightarrow - {b^2} + 8a = - 8a \Leftrightarrow - {b^2} + 16a = 0$ (5)

Từ (2) ta có: b = –4a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: –(–4a)$^{2}$ + 16a = 0 ⇔ –16a$^{2}$ + 16a = 0

⇔ 16a(–a + 1) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = 1\,\,(TM)\end{array} \right.$

Với a = 1, ta có: b = –4.1 = –4

Do đó, hàm số cần tìm là: y = x$^{2}$ – 4x + 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Hàm số bậc hai có dạng y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng xuống, đỉnh I(2; 0) và cắt trục tung tại điểm (0; – 4).

Do đó ta có:

a < 0 (1)

$- \frac{b}{{2a}} = 2$ (2); $- \frac{\Delta }{{4a}} = 0 \Leftrightarrow - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 0$ (3)

c = – 4 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: ${b^2} - 4a.( - 4) = 0 \Leftrightarrow {b^2} + 16a = 0$ (5)

Từ (2) ta có: b = –4a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (–4a)$^{2}$ + 16a = 0 ⇔ 16a$^{2}$ + 16a = 0

⇔ 16a(a + 1) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = - 1\,\,(TM)\end{array} \right.$

Với a = –1 ta có: b = – 4.(– 1) = 4

Vậy hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c là y = –x$^{2}$ + 4x – 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Gọi dạng của parabol trên là y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(0; –3) và cắt trục tung tại điểm (0; –3).

Do đó ta có:

a > 0

$- \frac{b}{{2a}} = 0$ ⇒ b = 0

c = –3

Dựa vào đồ thị ta còn thấy, đồ thị hàm số đi qua điểm (2; 1) do đó ta có:

Tại x = 2 thì y = a.2$^{2}$ + b.2 + c = 1

Hay 4a + 2b + c = 1

Mà b = 0, c = –3

⇒ 4a – 3 = 1

⇒ 4a = 4

⇒ a = 1 (TM)

Vậy hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c là y = x$^{2}$ – 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Hàm số bậc hai có dạng y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(1; –2) và cắt trục tung tại điểm (0; –1).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

$- \frac{b}{{2a}} = 1$ (2); $- \frac{\Delta }{{4a}} = - 2 \Leftrightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 2 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 8a$ (3)

c = –1 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: b$^{2}$ – 4a.(–1) = 8a ⇔ b$^{2}$ – 4a = 0 (5)

Từ (2) ta có: b = –2a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (–2a)$^{2}$ – 4a = 0 ⇔ 4a$^{2}$ – 4a = 0 ⇔ 4a(a – 1) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = 1\,\,(TM)\end{array} \right.$

Với a = 1 ta có: b = –2.1 = –2

Vậy hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c là y = x$^{2}$ – 2x – 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(0; 0) và cắt trục tung tại điểm (0; 0).

Do đó ta có:

a > 0

$- \frac{b}{{2a}} = 0$ ⇒ b = 0

c = 0

Dựa vào đồ thị ta còn thấy, đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 1) do đó ta có:

Tại x = 1 thì y = a.1$^{2}$ + b.1 + c = 1

Hay a + b + c = 1

Mà b = 0, c = 0

⇒ a = 1 (TM)

Vậy hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c là y = x$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Hàm số bậc hai có dạng y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng xuống, đỉnh I(0; 0) và cắt trục tung tại điểm (0; 0).

Do đó ta có:

a < 0

$- \frac{b}{{2a}} = 0$ ⇒ b = 0

c = 0

Dựa vào đồ thị ta còn thấy, đồ thị hàm số đi qua điểm (1; –1) do đó ta có:

Tại x = 1 thì y = a.1$^{2}$ + b.1 + c = –1

Hay a + b + c = –1

Mà b = 0, c = 0

⇒ a = –1 (TM)

Vậy hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c là y = –x$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Hàm số bậc hai có dạng y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng xuống, đỉnh I(–2; 4) và cắt trục tung tại điểm (0; 0).

Do đó ta có:

a < 0 (1)

$- \frac{b}{{2a}} = - 2$ (2); $- \frac{\Delta }{{4a}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = - 4 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = - 16a$ (3)

c = 0 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: b$^{2}$ – 4a.0 = –16a ⇔ b$^{2}$ + 16a = 0 (5)

Từ (2) ta có: b = 4a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (4a)$^{2}$ + 16a = 0 ⇔ 16a$^{2}$ + 16a = 0

⇔ 16a(a + 1) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = - 1\,\,(TM)\end{array} \right.$

Với a = –1 ta có: b = 4.(–1) = –4

Vậy hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c là y = –x$^{2}$ – 4x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng xuống, đỉnh I(–1; 0) và cắt trục tung tại điểm (0; –1).

Do đó ta có:

a < 0 (1)

$- \frac{b}{{2a}} = - 1$ (2); $- \frac{\Delta }{{4a}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 0$ (3)

c = –1 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: b$^{2}$ – 4a.(–1) = 0 ⇔ b$^{2}$ + 4a = 0 (5)

Từ (2) ta có: b = 2a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (2a)$^{2}$ + 4a = 0 ⇔ 4a$^{2}$ + 4a = 0 ⇔ 4a(a + 1) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = - 1\,\,(TM)\end{array} \right.$

Với a = –1 ta có: b = 2.(–1) = –2

Vậy hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c là y = –x$^{2}$ – 2x – 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(1; –4).

Do đó ta có: a > 0 và a + b + c = – 4 (1)

Đồ thị hàm số còn đi qua các điểm (– 1; 0) và (3; 0).

Khi đó: a – b + c = 0 (2) và 9a + 3b + c = 0 (3).

Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được: 2b = – 4 ⇔ b = – 2.

Thay b = – 2 vào (1) và (3) ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}a - 2 + c = - 4\\9a + 3.\left( { - 2} \right) + c = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = - 2\\9a + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = - 3\end{array} \right.$

Vậy hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c là y = x$^{2}$ – 2x – 3.

Khi đó 2a + b + 2c = 2 . 1 + (– 2) + 2 . (– 3) = 2 – 2 – 6 = – 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(1; 0) và cắt trục tung tại điểm (0; 2).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

$- \frac{b}{{2a}} = 1$ (2); $- \frac{\Delta }{{4a}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 0$ (3)

c = 2 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: b$^{2}$ – 4a.2 = 0 ⇔ b$^{2}$ – 8a = 0 (5)

Từ (2) ta có: b = –2a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (–2a)$^{2}$ – 8a = 0 ⇔ 4a$^{2}$ – 8a = 0 ⇔ 4a(a – 2) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = 2\,\,(TM)\end{array} \right.$

Với a = 2 ta có: b = –2.2 = –4

Vậy hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c là y = 2x$^{2}$ – 4x + 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Hàm số bậc hai có dạng y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(2; –1) và cắt trục tung tại điểm (0; 3).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

$- \frac{b}{{2a}} = 2$ (2); $- \frac{\Delta }{{4a}} = - 1 \Leftrightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 4a$ (3)

c = 3 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: b$^{2}$ – 4a.3 = 4a ⇔ b$^{2}$ – 16a = 0 (5)

Từ (2) ta có: b = –4a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (–4a)$^{2}$ – 16a = 0 ⇔ 16a$^{2}$ – 16a = 0

⇔ 16a(a – 1) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = 1\,\,(TM)\end{array} \right.$

Với a = 1 ta có: b = –4.1 = –4

Vậy hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c là y = x$^{2}$ – 4x + 3.