12 Bài tập Tìm công thức của hàm số bậc hai khi biết đồ thị hàm số (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh S(1; 1) và cắt trục tung tại điểm (0; 2).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

$- \frac{b}{{2a}} = 1$ (2); $- \frac{\Delta }{{4a}} = 1 \Leftrightarrow - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 1$ (3)

c = 2 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: $- \frac{{{b^2} - 4a.2}}{{4a}} = 1 \Leftrightarrow - {b^2} + 8a = 4a \Leftrightarrow - {b^2} + 4a = 0$ (5)

Từ (2) ta có: b = –2a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: –(–2a)$^{2}$ + 4a = 0 ⇔ –4a$^{2}$ + 4a = 0

⇔ 4a(–a + 1) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = 1\,\,(TM)\end{array} \right.$

Với a = 1 ta có: b = –2.1 = –2

Vậy hàm số cần tìm là: y = x$^{2}$ – 2x + 2.

Hướng dẫn giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(2; –2) và cắt trục tung tại điểm (0; 2).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

$- \frac{b}{{2a}} = 2$ (2); $- \frac{\Delta }{{4a}} = - 2 \Leftrightarrow - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = - 2$ (3)

c = 2 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: $- \frac{{{b^2} - 4a.2}}{{4a}} = - 2 \Leftrightarrow - {b^2} + 8a = - 8a \Leftrightarrow - {b^2} + 16a = 0$ (5)

Từ (2) ta có: b = –4a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: –(–4a)$^{2}$ + 16a = 0 ⇔ –16a$^{2}$ + 16a = 0

⇔ 16a(–a + 1) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = 1\,\,(TM)\end{array} \right.$

Với a = 1, ta có: b = –4.1 = –4

Do đó, hàm số cần tìm là: y = x$^{2}$ – 4x + 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Hàm số bậc hai có dạng y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng xuống, đỉnh I(2; 0) và cắt trục tung tại điểm (0; – 4).

Do đó ta có:

a < 0 (1)

$- \frac{b}{{2a}} = 2$ (2); $- \frac{\Delta }{{4a}} = 0 \Leftrightarrow - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 0$ (3)

c = – 4 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: ${b^2} - 4a.( - 4) = 0 \Leftrightarrow {b^2} + 16a = 0$ (5)

Từ (2) ta có: b = –4a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (–4a)$^{2}$ + 16a = 0 ⇔ 16a$^{2}$ + 16a = 0

⇔ 16a(a + 1) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = - 1\,\,(TM)\end{array} \right.$

Với a = –1 ta có: b = – 4.(– 1) = 4

Vậy hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c là y = –x$^{2}$ + 4x – 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Gọi dạng của parabol trên là y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(0; –3) và cắt trục tung tại điểm (0; –3).

Do đó ta có:

a > 0

$- \frac{b}{{2a}} = 0$ ⇒ b = 0

c = –3

Dựa vào đồ thị ta còn thấy, đồ thị hàm số đi qua điểm (2; 1) do đó ta có:

Tại x = 2 thì y = a.2$^{2}$ + b.2 + c = 1

Hay 4a + 2b + c = 1

Mà b = 0, c = –3

⇒ 4a – 3 = 1

⇒ 4a = 4

⇒ a = 1 (TM)

Vậy hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c là y = x$^{2}$ – 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Hàm số bậc hai có dạng y = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(1; –2) và cắt trục tung tại điểm (0; –1).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

$- \frac{b}{{2a}} = 1$ (2); $- \frac{\Delta }{{4a}} = - 2 \Leftrightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 2 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 8a$ (3)

c = –1 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: b$^{2}$ – 4a.(–1) = 8a ⇔ b$^{2}$ – 4a = 0 (5)

Từ (2) ta có: b = –2a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (–2a)$^{2}$ – 4a = 0 ⇔ 4a$^{2}$ – 4a = 0 ⇔ 4a(a – 1) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = 1\,\,(TM)\end{array} \right.$

Với a = 1 ta có: b = –2.1 = –2

Vậy hàm số y = ax$^{2}$ + bx + c là y = x$^{2}$ – 2x – 1.