12 bài tập Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số có lời giải

Đáp án đúng là: B

Với m = −4 thì $y = \frac{{ - 4x - 8}}{{x + 2}} = - 4$ không thỏa mãn.

Do đó m ≠ −4 thì hàm số luôn có hai đường tiệm cận x = −2; y = m.

Đáp án đúng là: C

+) b = 0 $\Rightarrow$ đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + 1}}{{ - 2}}$ không có tiệm cận.

+) b ≠ 0, tập xác định của hàm số $y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{2}{b}} \right\}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{a + \frac{1}{x}}}{{b - \frac{2}{x}}} = \frac{a}{b}$.

$\Rightarrow$đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = 2a$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{2}{b}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{2}{b}}^ + }} \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}} = \left[ \begin{array}{l} + \infty \\ - \infty \end{array} \right.$.

$\Rightarrow$đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng$x = \frac{2}{b} \Rightarrow \frac{2}{b} = 1 \Leftrightarrow b = 2 \Rightarrow a = 1$.

Vậy a = 1; b = 2.

Đáp án đúng là: D

$y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{{x^2} + m}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$.

$\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \Rightarrow$ y = 1 là đường tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}}$ có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng. Suy ra phương trình x$^{2}$ + m = 0 nhận nghiệm x = 1 hoặc x = 2.

Khi đó: m = −1 hoặc m = −4.

Với m = −1 có một tiệm cận đứng x = 2.

Với m = −4 có một tiệm cận đứng x = 1.

Vậy m ∈ {−1; −4}.

Đáp án đúng là: C

Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - \left( {2mx + 3} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 4}}{{x + 1}} = 0$.

Vậy đường tiệm cận xiên có phương trình y = 2mx + 3.

Đường thẳng này qua điểm M(1; 7) nên 2m.1 + 3 = 7 $\Leftrightarrow$ m = 2.

Đáp án đúng là: A

Đồ thị hàm số nhận x = −m – 3 làm tiệm cận đứng $\Rightarrow$ −m – 3 = 0 $\Rightarrow$ m = −3.

Đồ thị hàm số nhận y = n – 3 làm tiệm cận ngang $\Rightarrow$ n – 3 = 0 $\Leftrightarrow$ n = 3.

Vậy m + n = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 8x + m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 8x + m}} = 0$ nên đồ thị hàm số có một tiện cận ngang y = 0.

Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng phương trình x$^{2}$ – 8x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 16 - m > 0\\m - 7 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 16\\m \ne 7\end{array} \right.$.

Kết hợp với điều kiện m nguyên dương ta có m ∈ {1; 2; 3; …; 6; 8; …; 15}.

Vậy có 14 giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {m^ + }} y = - \infty$ nên x$_{0}$ = m là tiệm cận đứng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 8$ nên y$_{0}$ = 8 là tiệm cận ngang.

Suy ra 8m = 16 $\Leftrightarrow$ m = 2.

Đáp án đúng là: C

+ Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty {\mkern 1mu}$ nên x = −2 là một tiệm cận đứng.$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = - \infty {\mkern 1mu}$ nên x = 1 là một tiệm cận đứng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 4{\mkern 1mu}$ nên y = 4 là một tiệm cận ngang.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {m^2}$ nên y = m$^{2}$ là một tiệm cận ngang.

+ Để hàm số có 4 tiệm cận thì m$^{2}$ ≠ 4 $\Leftrightarrow$ m ≠ ±2 mà m ∈ [−4; 4] nên m ∈ {±4; ±3; ±1; 0}. Vậy có 7 giá trị m cần tìm.

Đáp án đúng là: A

Từ bảng biến thiên ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right)\left( {2 - m} \right)$.

Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là y = 0 và y = (m – 1)(2 – m).

Lại có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty$ suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) là x = −2.

Và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = - \infty$ suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) là x = 2.

Để đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là 4 khi và chỉ khi $\left( {m - 1} \right)\left( {2 - m} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.$.

Vì m ∈ (−10; 10) và m là số nguyên dương nên m ∈ {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Vậy 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 42.

Đáp án đúng là: D

Từ bảng biến thiên suy ra tiệm cận đứng là x = −m, tiệm cận ngang là y = m nên giao điểm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là I(−m; m).

Theo đề ta suy ra m = 1.

Hướng dẫn giải:

Nếu m = 1, khi đó ta có hàm số $y = \frac{{3x + 3}}{{x + 1}} = 3$ không có tiệm cận qua điểm A(−2; 7).

Nếu m ≠ 1 thì đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = −1 và tiệm cận ngang là y = 2m + 1.

Đường tiệm cận ngang đi qua điểm A(−2; 7) nên 2m + 1 = 7 Û m =3.

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{nx + 1}}{{x + m}}$; (mn ≠ 1) có hai đường tiệm cận x = −m = −1; y =

n = 2 Þ m + n = 3.