12 bài tập Một số bài toán thực tế ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có v = S' = −t$^{2}$ + 8t + 9, t ∈ (0; 10).

Có v'(t) = −2t + 8 ; v'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 4 ∈ (0; 10).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có trong khoảng thời gian (0; 4) thì vận tốc của vật tăng.

Đáp án đúng là: C

Có f'(t) = 90t – 3t$^{2}$; f"(t) = 90 – 6t; f"(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 15.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có khoảng thời gian (15; 25) ngày thì tốc độ truyền bệnh giảm.

Đáp án đúng là: C

Khi bơi ngược dòng vận tốc của cá là: v – 6 (km/h)

Thời gian để cá vượt khoảng cách 300 km là $t = \frac{{300}}{{v - 6}}\left( {v > 6} \right)$.

Năng lượng tiêu hao của cá khi vượt khoảng cách 300km là:

E(v) = cv$^{3}$t $= c{v^3}.\frac{{300}}{{v - 6}} = 300c.\frac{{{v^3}}}{{v - 6}}$.

Có $E'\left( v \right) = 600c{v^2}\frac{{v - 9}}{{{{\left( {v - 6} \right)}^2}}};E'\left( v \right) = 0 \Rightarrow v = 9$ (vì v > 6).

Bảng biến thiên:

Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên nằm ở khoảng (6; 9) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm.

Đáp án đúng là: A

Ta có: G(x) = 0,75x$^{2}$ – 0,025x$^{3}$; G'(x) = 1,5x – 0,075x$^{2}$; G'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = 20.

Bảng biến thiên:

Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân nằm trong khoảng (0; 20) thì huyết áp bệnh nhân tăng.

Đáp án đúng là: B

Ta có T' = −0,024t$^{2}$ – 0,16 < 0, ∀t ∈ [1; 10].

Suy ra hàm số T nghịch biến trên đoạn [1; 10].

Do đó nhiệt độ trong phòng giảm.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số P = 12I – 0,5I$^{2}$ với I ≥ 0.

Ta có P' = 12 – I; P' = 0 $\Leftrightarrow$ I = 12.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có công suất P tăng trong khoảng cường độ dòng điện (0; 12).

Đáp án đúng là: A

Ta có: $G\left( x \right) = 0{,}25{x^2}\left( {30 - x} \right) = \frac{3}{4}{x^2} - \frac{1}{{40}}{x^3}$

$G'\left( x \right) = \frac{3}{2}x - \frac{3}{{40}}{x^2}$

$G'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2}x - \frac{3}{{40}}{x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 20\end{array} \right.$. Vì x > 0 nên x = 20.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên thì bệnh nhân cần tiêm một lượng thuốc 20 mg.

Đáp án đúng là: B

Ta có $h\left( t \right) = 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 5$$\Rightarrow h'\left( t \right) = - \frac{\pi }{6}\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right)$.

$h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3} = k\pi$$\Leftrightarrow t = - 4 + 12k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Mà 0 ≤ t ≤ 24 nên $0 \le - 4 + 12k \le 24 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le k \le \frac{7}{3}$ $\Rightarrow$ k ∈ {1; 2}.

Do đó h'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 8 hoặc t = 20.

$\Rightarrow$ h(t) đồng biến trên khoảng (8; 20) hay trong khoảng từ 8 giờ đến 20 giờ độ sâu của mực nước trong kênh tăng dần.

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $y = C(x) = \frac{{30x}}{{{x^2} + 2}}$ trên khoảng x ∈ (0; 6).

Ta có: $y' = \frac{{ - 30{x^2} + 60}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 30{x^2} + 60}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = - \sqrt 2 \,\end{array} \right.$do x ∈ (0; 6)$\Rightarrow x = \sqrt 2$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: nồng độ thuốc trong máu C(x) đạt giá trị cực đại là $\frac{{15\sqrt 2 }}{2}\left( {{\rm{mg/l}}} \right)$ trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm.

Đáp án đúng là: D

Ta có v(t) = x'(t) = 3t$^{2}$ – 12t + 9.

Xét v(t) = 3t$^{2}$ – 12t + 9

$\Rightarrow$v'(t) = 6t – 12 = 0 $\Leftrightarrow$ t = 2.

Bảng biến thiên

Vận tốc tăng trong khoảng thời gian t ∈ (2; 10) và giảm trong khoảng thời gian t ∈ (0; 2).

Ta có v(t) = S'(t) = t$^{2}$ – 6t + 5, t > 0 , v'(t) = 2t – 6, v'(t) = 0 Û 2t – 6 = 0 Û t = 3.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy vận tốc tăng trong khoảng thời gian (3; +∞).

Xét hàm số: f(x) = TR – TC = −x$^{3}$ + 75x$^{2}$ + 312x – 4000.

Tập xác định: D = (0; +∞).

Ta có f'(x) = −3x$^{2}$ + 150x + 312; f'(x) = 0 Û x = 52 (nhận) hoặc x = −2 (loại).

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt giá trị cực đại y$_{CĐ}$ = 74416 tại x = 52.

Vậy lợi nhuận của công ty đạt cực đại khi số sản phẩm x = 52.