12 bài tập Giải tam giác vuông có lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có ABC vuông tại A, suy ra $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$.

Mà $\widehat C = 30^\circ$ suy ra $\widehat B = 60^\circ$.

Ta có: AC = AB.tan$\widehat B$ = 14.tan60°, suy ra AC = $14\sqrt 3$ cm.

cosB = $\frac{{AB}}{{BC}}$ suy ra $BC = \frac{{AB}}{{\cos B}} = \frac{{AB}}{{0{,}5}} = 28$ (cm).

Vậy $\widehat B = 60^\circ$; AC = $14\sqrt 3$ cm; BC = 28 cm.

Hướng dẫn giải

Ta có: ABC vuông tại B.

Suy ra $\widehat A + \widehat C = 90^\circ$.

Mà $\widehat A = 52^\circ$ suy ra $\widehat C = 38^\circ$.

Ta có: AB = AC.sinC = 15.sin38° ≈ 9,2 cm.

BC = AC.sinA = 15.sin52° ≈ 11,8 cm.

Hướng dẫn giải

Ta có: tanB = $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{11}}{{7\sqrt 2 }}$ = 1,1145.

Suy ra $\widehat B = 48^\circ$.

Lại có $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$ suy ra $\widehat C = 42^\circ$.

Áp dụng định lí Pytagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = ($7\sqrt 2$)$^{2}$ + 11$^{2}$ = 219.

Suy ra $BC = \sqrt {219} \approx 14{,}8$ cm.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC vuông tại A.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

cosB = $\frac{{AB}}{{BC}}$ hay $\cos 51^\circ = \frac{{3{,}8}}{{BC}}$ suy ra BC = 6 cm.

AC = cos51°.BC = cos51°.BC = 4,6 cm.

b) Ta có: $\widehat C = 60^\circ$, suy ra $\widehat B = 30^\circ$.

Do đó, AB = sin60°.11 = 8,6 cm.

AC = cos60°.11 = 4,3 cm.

Hướng dẫn giải

Ta có: sin A = $\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{16}}{{20}} = 0{,}8$ suy ra $\widehat A \approx 53^\circ$.

Ta có: $\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {65^\circ + 45^\circ } \right) = 70^\circ$.

Từ A kẻ đường cao AH vuông góc với BC.

Xét tam giác vuông AHB, ta có:

BH = cos 65°.AB = cos65°.2,8 ≈ 1,2 cm.

AH = sin 65°.AB = sin65°.2,8 ≈2,5 cm.

Xét tam giác HAC, ta có: $\widehat {AHC} = 90^\circ ,\widehat {HCA} = 45^\circ$.

Suy ra, tam giác HAC vuông cân tại H.

Do đó, AH = HC = 2,5 cm.

Áp dụng định lí Pythagore, ta có AH$^{2}$ + HC$^{2}$ = AC$^{2}$

Suy ra AC = $2{,}5\sqrt 2$ ≈ 3,5 cm.

Ta có: BC = BH + HC = 1,2 + 2,5 = 3,7 cm.

Vậy có BC = 3,7 cm, AC = 3,5 cm và $\widehat {BAC} = 70^\circ$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {65^\circ + 40^\circ } \right) = 75^\circ$.

Từ A kẻ đường cao AH vuông góc với BC.

Xét tam giác vuông AHB, ta có:

tan 65° = $\frac{{AH}}{{BH}}$, suy ra BH = $\frac{{AH}}{{\tan 65^\circ }}$.

Xét tam giác HAC, ta có:

tan 40° = $\frac{{AH}}{{CH}}$, suy ra CH = $\frac{{AH}}{{\tan 40^\circ }}$.

Ta có: BC = BH + HC = $\frac{{AH}}{{\tan 40^\circ }}$ + $\frac{{AH}}{{\tan 65^\circ }}$ = AH. $\left( {\frac{1}{{\tan 65^\circ }} + \frac{1}{{\tan 40^\circ }}} \right)$.

Do đó, AH = $\frac{1}{{\left( {\frac{1}{{\tan 65^\circ }} + \frac{1}{{\tan 40^\circ }}} \right)}} \approx 2{,}5$ cm.

Xét tam giác vuông AHB, ta có: sin 65° = $\frac{{AH}}{{AB}}$, suy ra AB = $\frac{{AH}}{{\sin 65^\circ }} \approx 2{,}8$ cm.

Xét tam giác vuông AHC, ta có: sin 40° = $\frac{{AH}}{{AC}}$, suy ra AC = $\frac{{AH}}{{\sin 40^\circ }} \approx 3{,}9$ cm.

Vậy có BA = 2,8 cm, AC = 3,9 cm và $\widehat {BAC} = 75^\circ$.

Hướng dẫn giải

Kẻ AH vuông góc với BC tại H.

Xét tam giác BHA vuông tại H, ta có:

AH = sin 70°.AB = sin 70°.2,1 ≈ 2.

BH = cos 70°.AB = cos 70°.2,1 ≈ 0,7.

Xét tam giác HAC vuông tại H, ta có:

sinC = $\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{2}{{3{,}8}}$ suy ra $\widehat C \approx 32^\circ$.

HC = cosC.AC = cos 32°. 3,8 ≈ 3,2.

Do đó, BC = BH + HC = 3,2 + 0,7 = 3,9 cm.

Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {70^\circ + 32^\circ } \right) = 78^\circ$

Vậy BC = 3,9 cm và $\widehat {BAC} = 78^\circ$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có:

AH = sin 60°.AB = sin 60°.3 = $\frac{{3\sqrt 3 }}{2}$.

BH = cos 60°. AB = cos 60°. 3 = 1,5.

Tao có BH + HC = BC, suy ra HC = BC – BH = 4,5 – 1,5 = 3.

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

$\tan C = \frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}:3 = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ nên $\widehat C \approx 41^\circ$.

$\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}$ suy ra AC = $\frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}:\sin 41^\circ \approx 4$

Xét tam giác ABC, ta có:

$\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 41^\circ } \right) = 79^\circ$.

Vậy AC = 4, $\widehat C = 41^\circ ,\widehat A = 79^\circ$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông AHC, ta có:

$\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}$, suy ra AC = $\frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{6}{{\sin 35^\circ }} \approx 10{,}5$.

HC = cos 35°. AC = cos 35°. 10,5 ≈ 8,6.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

BH = cot 40°.AH = cot 40°. 6 ≈ 7,2.

sin B = $\frac{{AH}}{{AB}}$, suy ra $AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{6}{{\sin 40^\circ }} \approx 9{,}3$.

Ta có BC = BH + HC = 8,6 + 7,2 = 15,8.

Xét tam giác ABC, có:

$\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {40^\circ + 35^\circ } \right) = 105^\circ$.

Vậy AC = 10,5, AB = 9,3; BC = 15,8 và $\widehat {BAC} = 105^\circ$.

Ta có: $\widehat B = 60^\circ$ (do phụ với góc C).

Ta có: AB = AC.tanC = 10.tan30° = $\frac{{10\sqrt 3 }}{3}$ cm.

BC = $\frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{{10}}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}$ cm.

Ta có: $\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Ta có: AC = AB.tanB = 3.tan60° = $3\sqrt 3$ (cm).

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

sin C = $\frac{{AB}}{{BC}}$, suy ra $BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{3}{{\sin 30^\circ }} = 6$.