12 bài tập Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng toán chuyển động có lời giải

Đáp án đúng là: B

Gọi x, y lần lượt là vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước (x, y > 0, km/h).

Do đó, vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + y (km/h) và vận tốc ngược dòng của ca nô là x – y (km/h).

Ca nô chạy trên sông trong 8 giờ xuôi dòng được 81 km và ngược dòng 105 km nên ta có phương trình $\frac{{81}}{{x + y}} + \frac{{105}}{{x - y}} = 8$ (1)

Ca nô chạy trên sông trong 4 giờ xuôi dòng được 54 km và ngược dòng 42 km nên ta có phương trình: $\frac{{54}}{{x + y}} + \frac{{42}}{{x - y}} = 4$ (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{81}}{{x + y}} + \frac{{105}}{{x - y}} = 8\\\frac{{54}}{{x + y}} + \frac{{42}}{{x - y}} = 4\end{array} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = a\\\frac{1}{{x - y}} = b\end{array} \right.$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}81a + 105b = 8\\54a + 42b = 4\end{array} \right.$ .

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}81a + 105b = 8\\54a + 42b = 4\end{array} \right.$, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}2\left( {81a + 105b} \right) = 2.8\\3\left( {54a + 42b} \right) = 4.3\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}162a + 210b = 16\\162a + 126b = 12\end{array} \right.$.

Thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được: 84b = 4 hay b = $\frac{1}{{21}}$.

Với b = $\frac{1}{{21}}$ suy ra a = $\frac{1}{{27}}$.

Từ đây suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{27}}\\\frac{1}{{x - y}} = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 27\\x - y = 21\end{array} \right.$ suy ra x = 24, y = 3 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h.

Đáp án đúng là: D

Gội vận tốc ban đầu là x ( x > 3, km/h), thời gian chạy dự định là y (y > 2, h).

Độ dài của quãng đường AB là xy (km).

Nếu ô tô tăng vận tốc 3 km/h thì rút ngắn 2 giờ so với dự định nên ta có phương trình:

(x + 3)(y – 2) = xy (1)

Nếu ô tô giảm vận tốc 3 km/h thì thời gian tăng 3 giờ so với dự định nên ta có phương trình: (x – 3)(y + 3) = xy (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)(y - 2) = xy\\(x - 3)(y + 3) = xy\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}3y - 2x = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.$.

• Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3y - 2x = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.$ .

Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta có: x = 15 (thỏa mãn).

Với x = 15 thì y = 12 (thỏa mãn).

Vậy độ dài quãng đường AB là: 15.12 = 180 (km).

Đáp án đúng là: B

Đổi 45 phút = $\frac{3}{4}$ giờ.

Gọi quãng đường AB là x (x > 0, km) và thời gian dự định đi từ A đến B là y (y > 0, giờ).

Nếu đi với vận tốc 45 km/h sẽ tới B chậm nửa giờ, do đó ta có phương trình:

x = 45.$\left( {y + \frac{1}{2}} \right)$ hay x – 45y = $\frac{{45}}{2}$ (1)

Nếu đi với vận tốc 60 km/h sẽ tới B sớm hơn 45 phút, do đó ta có phương trình:

x = 60.$\left( {y - \frac{3}{4}} \right)$ hay x – 60y = −45 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 45y = \frac{{45}}{2}\\x - 60y = - 45\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, ta trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được: 15y = $\frac{{135}}{2}$, suy ra y = 4,5 (thỏa mãn).

Thay y = 4,5 vào phương trình x – 45y = $\frac{{45}}{2}$ được x = 225 (thỏa mãn).

Vậy quãng đường AB dài 225 km và thời gian dự định đi từ A đến B hết 4,5 giờ.

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y lần lượt là vận tốc của ô tô và xe máy (x > y > 0, km/h).

Theo đề, hai xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ nên ta có: 2x + 2y = 180 hay x + y = 90 (1).

Vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 10 km/h nên ta có: x – y = 10 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 90\\x - y = 10\end{array} \right.$.

• Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 90\\x - y = 10\end{array} \right.$.

Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta được 2x = 100 hay x = 50 (thỏa mãn).

Với x = 50 thì y = 40 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h.

Đáp án đúng là: C

Gọi vận tốc của tàu hỏa và ô tô lần lượt là x, y (km/h, x > y > 0; x > 5).

Vì khách du lịch đi trên ô tô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được 640 km nên ta có phương trình: 7x + 4y = 640 (1).

Mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5 km nên ta có phương trình x – y = 5 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}7x + 4y = 640\\x - y = 5\end{array} \right.$.

Từ phương trình x – y = 5 ta được x = 5 + y.

Thay x = 5 + y vào phương trình 7x + 4y = 640, ta được:

7(5 + y) + 4y = 640

11y + 35 = 640

11y = 605

y = 55 (thỏa mãn).

Suy ra x = 5 + 55 = 60 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của tàu hỏa là 60 km/h.

Đáp án đúng là: C

Gọi vận tốc và thời gian người đó đi quãng đường AB lần lượt là x, y (x > 2, y > 1).

Độ dài quãng đường AB là xy (km).

Theo đề, nếu người đó tăng tốc độ 3 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ nên ta có phương trình: (x + 3)(y – 1) = xy (1)

Nếu người đó giảm tốc độ 2 km/h thì đến muộn hơn 1 giờ nên ta có phương trình: (x – 2)(y + 1) = xy (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {y - 1} \right) = xy\\\left( {x - 2} \right)\left( {y + 1} \right) = xy\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}3y - x = 3\\x - 2y = 2\end{array} \right.$.

• Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3y - x = 3\\x - 2y = 2\end{array} \right.$.

Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta được y = 5 (thỏa mãn).

Khi đó, x = 12 (thỏa mãn).

Do đó, độ dài quãng đường AB là: 5.12 = 60 (km).

Đáp án đúng là: A

Đổi 30 phút = $\frac{1}{2}$ giờ; 45 phút = $\frac{3}{4}$ giờ.

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) và thời gian dự định của ô tô là y (giờ).

Điều kiện: x > 10; y > $\frac{1}{2}$.

Quãng đường AB là: xy (km).

Nếu ô tô giảm vận tốc 10 km/h thì thời gian tăng 45 phút nên ta có phương trình:

(x – 10) $\left( {y + \frac{3}{4}} \right)$ = xy hay xy + $\frac{3}{4}$x – 10y – $\frac{{15}}{2}$ = xy, suy ra 3x – 40y = 30 (1)

Nếu ô tô tăng vận tốc 10 km/h thì thời gian giảm 30 phút nên ta có phương trình:

(x + 10) $\left( {y - \frac{1}{2}} \right)$ = xy hay xy – $\frac{1}{2}$x +10y – 5 = xy, suy ra −x + 20y = 10 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x - 40y = 30\\ - x + 20y = 10\end{array} \right.$.

Thế x = 20y – 10 vào phương trình thứ nhất, ta được:

3(20y – 10) – 40y = 30 hay 20y = 60, suy ra y = 3 (thỏa mãn).

Thay y = 3 vào x = 20y – 10, suy ra x = 50 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc đã định của ô tô là 50 km/h.

Đáp án đúng là: A

Đổi 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ, 1 giờ 20 phút = $\frac{4}{3}$ giờ.

Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lần lượt là x, y (x > y > 0, km/h).

Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng là: x + y (km/h).

Vận tốc ca nô lúc ngược dòng là: x – y (km/h).

Theo đề, ca nô xuôi dòng 12 km và ngược dòng 12 km hết 2,5 giờ nên ta có phương trình: $\frac{{12}}{{x + y}} + \frac{{12}}{{x - y}} = 2{,}5$ (1).

Ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km hết $\frac{4}{3}$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{4}{{x + y}} + \frac{8}{{x - y}} = \frac{4}{3}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{{x + y}} + \frac{{12}}{{x - y}} = 2{,}5\\\frac{4}{{x + y}} + \frac{8}{{x - y}} = \frac{4}{3}\end{array} \right.$.

• Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{{x + y}} + \frac{{12}}{{x - y}} = 2{,}5\\\frac{4}{{x + y}} + \frac{8}{{x - y}} = \frac{4}{3}\end{array} \right.$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = a\\\frac{1}{{x - y}} = b\end{array} \right.$ nên ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}12a + 12b = 2{,}5\\4a + 8b = \frac{4}{3}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}12a + 12b = 2{,}5\\12a + 24b = 4\end{array} \right.$.

Thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được 12b = 1,5 hay b = $\frac{1}{8}$.

Do đó, a = $\frac{1}{{12}}$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{12}}\\\frac{1}{{x - y}} = \frac{1}{8}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 12\\x - y = 8\end{array} \right.$.

Suy ra 2x = 20 hay x = 10 (thỏa mãn), do đó y = 2 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc riêng của dòng nước là 2 km/h.

Đáp án đúng là: A

Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và AC lần lượt là x, y (0 < x < y, y > 0,5).>

Độ dài quãng đường AB là: 50x (km).

Độ dài quãng đường BC là: 45y (km).

Tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165 km nên ta có phương trình:

50x + 45y = 165 hay 10x + 9y = 33 (1)

Thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi quãng đường BC là 30 phút (= 0,5 giờ) nên ta có: −x + y = 0,5 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}10x + 9y = 33\\ - x + y = 0{,}5\end{array} \right.$.

Từ phương trình (2) ta có y = 0,5 + x.

Thay y = 0,5 + x ta được 10x + 9(0,5 + x) = 33 hay 19x = 28,5 suy ra x = 1,5 (thỏa mãn).

Lúc đó, y = 2 (thỏa mãn).

Vậy thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB là 1,5 giờ.

Gọi vận tốc dự định của ca nô là x (x > 3, đơn vị: km/h) và thời gian dự định đi từ A đến B là y (y > 0, đơn vị: giờ).

Nếu ca nô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ, ta có phương trình: (x + 3)(y – 2) = xy hay xy – 2x + 3y – 6 = xy, suy ra −2x + 3y = 6 (1).

Nếu ca nô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian tăng thêm 3 giờ, nên ta có phương trình:

(x – 3)(y + 3) = xy hay xy + 3x – 3y – 9 = xy, suy ra 3x – 3y = 9 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 3y = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, ta thực hiện cộng theo vế hai phương trình của hệ, được x = 15 (thỏa mãn).

Thay x = 15 vào phương trình (1), được −2.15 + 3y = 6, suy ra y = 12 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc dự định của ca nô là 15 km/h và thời gian dự địnjh của ca nô là 12 giờ.