12 bài tập Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng toán chuyển động có lời giải

Đáp án đúng là: B

Gọi x, y lần lượt là vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước (x, y > 0, km/h).

Do đó, vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + y (km/h) và vận tốc ngược dòng của ca nô là x – y (km/h).

Ca nô chạy trên sông trong 8 giờ xuôi dòng được 81 km và ngược dòng 105 km nên ta có phương trình $\frac{{81}}{{x + y}} + \frac{{105}}{{x - y}} = 8$ (1)

Ca nô chạy trên sông trong 4 giờ xuôi dòng được 54 km và ngược dòng 42 km nên ta có phương trình: $\frac{{54}}{{x + y}} + \frac{{42}}{{x - y}} = 4$ (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{81}}{{x + y}} + \frac{{105}}{{x - y}} = 8\\\frac{{54}}{{x + y}} + \frac{{42}}{{x - y}} = 4\end{array} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = a\\\frac{1}{{x - y}} = b\end{array} \right.$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}81a + 105b = 8\\54a + 42b = 4\end{array} \right.$ .

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}81a + 105b = 8\\54a + 42b = 4\end{array} \right.$, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}2\left( {81a + 105b} \right) = 2.8\\3\left( {54a + 42b} \right) = 4.3\end{array} \right.$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}162a + 210b = 16\\162a + 126b = 12\end{array} \right.$.

Thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được: 84b = 4 hay b = $\frac{1}{{21}}$.

Với b = $\frac{1}{{21}}$ suy ra a = $\frac{1}{{27}}$.

Từ đây suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{27}}\\\frac{1}{{x - y}} = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 27\\x - y = 21\end{array} \right.$ suy ra x = 24, y = 3 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h.

Đáp án đúng là: D

Gội vận tốc ban đầu là x ( x > 3, km/h), thời gian chạy dự định là y (y > 2, h).

Độ dài của quãng đường AB là xy (km).

Nếu ô tô tăng vận tốc 3 km/h thì rút ngắn 2 giờ so với dự định nên ta có phương trình:

(x + 3)(y – 2) = xy (1)

Nếu ô tô giảm vận tốc 3 km/h thì thời gian tăng 3 giờ so với dự định nên ta có phương trình: (x – 3)(y + 3) = xy (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)(y - 2) = xy\\(x - 3)(y + 3) = xy\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}3y - 2x = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.$.

• Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3y - 2x = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.$ .

Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta có: x = 15 (thỏa mãn).

Với x = 15 thì y = 12 (thỏa mãn).

Vậy độ dài quãng đường AB là: 15.12 = 180 (km).

Đáp án đúng là: B

Đổi 45 phút = $\frac{3}{4}$ giờ.

Gọi quãng đường AB là x (x > 0, km) và thời gian dự định đi từ A đến B là y (y > 0, giờ).

Nếu đi với vận tốc 45 km/h sẽ tới B chậm nửa giờ, do đó ta có phương trình:

x = 45.$\left( {y + \frac{1}{2}} \right)$ hay x – 45y = $\frac{{45}}{2}$ (1)

Nếu đi với vận tốc 60 km/h sẽ tới B sớm hơn 45 phút, do đó ta có phương trình:

x = 60.$\left( {y - \frac{3}{4}} \right)$ hay x – 60y = −45 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 45y = \frac{{45}}{2}\\x - 60y = - 45\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, ta trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được: 15y = $\frac{{135}}{2}$, suy ra y = 4,5 (thỏa mãn).

Thay y = 4,5 vào phương trình x – 45y = $\frac{{45}}{2}$ được x = 225 (thỏa mãn).

Vậy quãng đường AB dài 225 km và thời gian dự định đi từ A đến B hết 4,5 giờ.

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y lần lượt là vận tốc của ô tô và xe máy (x > y > 0, km/h).

Theo đề, hai xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ nên ta có: 2x + 2y = 180 hay x + y = 90 (1).

Vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy 10 km/h nên ta có: x – y = 10 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 90\\x - y = 10\end{array} \right.$.

• Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 90\\x - y = 10\end{array} \right.$.

Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta được 2x = 100 hay x = 50 (thỏa mãn).

Với x = 50 thì y = 40 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h.

Đáp án đúng là: C

Gọi vận tốc của tàu hỏa và ô tô lần lượt là x, y (km/h, x > y > 0; x > 5).

Vì khách du lịch đi trên ô tô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được 640 km nên ta có phương trình: 7x + 4y = 640 (1).

Mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5 km nên ta có phương trình x – y = 5 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}7x + 4y = 640\\x - y = 5\end{array} \right.$.

Từ phương trình x – y = 5 ta được x = 5 + y.

Thay x = 5 + y vào phương trình 7x + 4y = 640, ta được:

7(5 + y) + 4y = 640

11y + 35 = 640

11y = 605

y = 55 (thỏa mãn).

Suy ra x = 5 + 55 = 60 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của tàu hỏa là 60 km/h.