12 Bài tập Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị của biểu thức (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Vì 90° < α < 180° nên cosα < 0.

Ta có: sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1

Suy ra cosα = $- \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Do đó $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$

và $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = - 2\sqrt 2$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: A = 2sin$^{2}$α + 5cos$^{2}$α = 2 . (1 – cos$^{2}$α) + 5cos$^{2}$α = 2 + 3cos$^{2}$α

Với $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$, thay vào biểu thức A ta được

A = 2 + 3 . ${\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$ = 2 + 3 . $\frac{1}{2}$ = $\frac{7}{2}$.

Vậy A = $\frac{7}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì 0° < α < 180° nên sinα > 0.

Lại có sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1

Suy ra $\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì 90° < α < 180° nên cosα < 0.

Do đó $cos\alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)}^2}} = - \sqrt {\frac{{25}}{{169}}} = - \frac{5}{{13}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có ${\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$

$\Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{1}{{{{\left( { - 2\sqrt 2 } \right)}^2} + 1}} = \frac{1}{9}$$\Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{3}$.

Vì 0° < α < 180° ⇒ sinα > 0 mà $\tan \alpha = - 2\sqrt 2$< 0 nên cosα < 0.

Do đó $\cos \alpha = - \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Vì $\cot \alpha = - \sqrt 2$ nên $\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$, do đó D đúng.

Do 0° < α < 180° nên sinα > 0.

Ta có: ${\cot ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$

$\Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha + 1}} = \frac{1}{{{{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2} + 1}} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ nên A đúng.

Lại có: $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha = - \sqrt 2 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Do đó B sai, C đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Do 0° < α < 180°, α ≠ 90° nên tanα, cotα cùng dấu và tanα + cotα > 0 nên tanα > 0.

Mà $\sin \alpha = \frac{2}{5}$ > 0.

Do đó cosα > 0.

Ta có sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1

Suy ra $\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{5}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có

$A = \frac{{\tan \alpha + 4\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}$$= \frac{{\tan \alpha + 4.\frac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \frac{1}{{\tan \alpha }}}}$$= \frac{{\frac{{{{\tan }^2}\alpha + 4}}{{\tan \alpha }}}}{{\frac{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}{{\tan \alpha }}}}$

$= \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 4}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 3}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = 1 + 3{\cos ^2}\alpha$.

Thay $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ vào biểu thức $A = 1 + 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1 + 3.\frac{1}{9} = \frac{4}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Vì 0° < α < 90° nên cosα > 0, sinα > 0

Ta có ${\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{1}{{10}}$$\Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}$

Lại có $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha = 3.\frac{{\sqrt {10} }}{{10}} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}$.

Do đó $P{\rm{ }} = {\rm{ }}cos\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}sin\alpha = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}} + \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Vì 0° < α < 180° nên sinα > 0

Do đó $\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}} = \frac{{12}}{{13}}$.

Suy ra $\tan \alpha = \frac{{12}}{5}$; $\cot \alpha = \frac{5}{{12}}$

Do đó $P = 2\sqrt {4 + 5.\frac{{12}}{5}} + 3\sqrt {9 - 12.\frac{5}{{12}}} = 2.4 + 3.2 = 8 + 6 = 14$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Do tanα = 5 nên cosα ≠ 0.

Chia cả tử và mẫu của P cho cosα ta được

$P = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} =$$\frac{{2\tan \alpha + 3}}{{3\tan \alpha - 2}} = \frac{{2.5 + 3}}{{3.5 - 2}} = 1$.

Vậy P = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có P = sin$^{4}$α – cos$^{4}$α $= \left( {{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha } \right).\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha$.

Do cotα = 3, suy ra sinα ≠ 0.

Chia cả hai vế của biểu thức cho sin$^{2}$α ta được: $\frac{P}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 - {\cot ^2}\alpha$

$\Leftrightarrow P\left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right) = 1 - {\cot ^2}\alpha$

Thay cotα = 3 vào ta được: P.(1 + 9) = 1 – 9 $\Leftrightarrow P = \frac{{ - 8}}{{10}} = \frac{{ - 4}}{5}$.