12 Bài tập Các cách tính diện tích tam giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Ta áp dụng công thức $S = \frac{1}{2}ab\sin C$, ta có diện tích tam giác ABC:

$S = \frac{1}{2}.4\sqrt 3 .4.\sin 60^\circ = 12$.

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Ta có $p = \frac{1}{2}.\left( {3 + 4 + 5} \right) = 6$.

Áp dụng công thức Heron, ta có:

$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {6\left( {6 - 4} \right)\left( {6 - 5} \right)\left( {6 - 3} \right)} = 6$.

Cách 2. Nhận thấy ${b^2} = {a^2} + {c^2}$ ( vì ${5^2} = {3^2} + {4^2}$)

Suy ra tam giác ABC vuông tại B, do đó diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2}a.c = \frac{1}{2}.3.4 = 6$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta áp dụng công thức $S = \frac{1}{2}bc\sin A$, ta có:

$S = \frac{1}{2}.10.15.\sin 30^\circ = \frac{{75}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Trong tam giác ABC có: $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {30^\circ + 75^\circ } \right) = 75^\circ$.

Suy ra tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC = 5.

Do đó diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.5.5.\sin 30^\circ = \frac{{25}}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là B.

Ta có $p = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right) = \frac{1}{2}\left( {10 + 21 + 17} \right) = 24$.

Do đó diện tích tam giác ABC là:

S = $\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {24\left( {24 - 10} \right)\left( {24 - 21} \right)\left( {24 - 17} \right)}$= 84.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: Diện tích lá cờ hình tam giác cân là:

S = $\frac{1}{2}$. 80. 80.sin 50° ≈ 2451,34 (cm$^{2}$).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Giả sử tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 8 cm.

Do tam giác ABC đều nên ta có $\widehat A = 60^\circ$.

Sử dụng công thức định lý sin: $\frac{a}{{\sin A}} = 2R$

⇒ a = 2R . sinA = 2 . 8 . sin60° = $8\sqrt 3$

Do tam giác ABC đều nên ta có a = b và $\widehat C = 60^\circ$, áp dụng công thức $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ ta có diện tích tam giác là S = $\frac{1}{2}.8\sqrt 3 .8\sqrt 3 .\sin 60^\circ = 48\sqrt 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo định lí côsin ta có: ${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C = {5^2} + {7^2} - 2.5.7.0{,}6 = 32$

Do đó: c = 4$\sqrt 2$.

Nửa chu vi tam giác ABC là: p = $\frac{1}{2}$(a + b + c) = 6 + 2$\sqrt 2$.

Vậy diện tích tam giác ABC là:

S = $\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$= 14.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Diện tích tam giác ABC là: S = $\frac{1}{2}$AB.AC sinABC = $\frac{1}{2}.a.2a.\sin 60^\circ$ = $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

Do đó diện tích hình bình hành ABCD là: ${S_{ABCD}}$= 2S = ${a^2}\sqrt 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Diện tích tam giác ABC là: S = $\frac{1}{2}$BC.AC sinC = $\frac{1}{2}$absinC.

Mà sinC ≥ 1. Nên để tam giác ABC có diện tích lớn nhất thì sinC = 1

$\Leftrightarrow \widehat C = 90^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: Diện tích tam giác ABC là: S = $\frac{1}{2}$.AB. AC.sinA = $\frac{1}{2}$.bc.sinA.

Nếu cạnh AB tăng lên 3 lần, cạnh AC tăng lên 4 lần và giữ nguyên độ lớn của góc A thì khi đó diện tích của tam giác mới là:

${S_1}$= $\frac{1}{2}$.3AB. 4AC.sinA = 12.$\frac{1}{2}$.bc.sinA = 12S.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

BH = $\sqrt {A{B^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - {2^2}} = 2$

Tương tự: CH = $\sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - {2^2}} = 2\sqrt 2$.

Do đó BC = BH + CH = 2 + 2$\sqrt 2$.

Vậy diện tích tam giác ABC là: S = $\frac{1}{2}$AH.BC = $\frac{1}{2}$. 2. (2 + 2$\sqrt 2$) = 2 + 2$\sqrt 2$.