11 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 7. Căn bậc hai và căn thức bậc hai có đáp án

a) ${x}_{1}=\sqrt{5}\approx 2{,}236\ ;{x}_{2}=-\sqrt{5}\approx -2{,}236$

b) ${x}_{1}=\sqrt{2{,}5}\approx 1{,}581\ ;{x}_{2}=-\sqrt{2{,}5}\approx -1{,}581$

c) ${x}_{1}=\sqrt{\sqrt{5}}\approx 1{,}495\ ;{x}_{2}=-\sqrt{\sqrt{5}}\approx -1{,}495$

a) $a - \sqrt a = \sqrt a (\sqrt a - 1) > 0$ nếu $a > 1$.

b) $a - \sqrt a = \sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right) < 0$ nếu $0 < a < 1$.

a) ĐK: $- 3x + 2 \ge 0$ nên $- 3x \ge - 2$ hay $x \le \frac{2}{3}.$

b) ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{2x + 3}} \ge 0\\2x + 3 \ne 0\end{array} \right.$ nên $2x + 3 > 0$ hay $2x > - 3$, suy ra $x > \frac{{ - 3}}{2}.$

c) Đk: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{{x^2}}} \ge 0\\{x^2} \ne 0\end{array} \right.$ nên ${x^2} > 0$ hay $x \ne 0$

d) ĐK: $x\left( {x + 2} \right) \ge 0$

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ge - 2\end{array} \right.$, suy ra $x \ge 0$.

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\x + 2 \le 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\x \le - 2\end{array} \right.$, suy ra $x \le - 2$.

e) ĐK: $9{x^2} - 6x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {3x - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x.$

f) ĐK: $\frac{{2x - 1}}{{2 - x}} \ge 0$

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\2 - x > 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\x < 2\end{array} \right.$, suy ra $\frac{1}{2} \le x < 2$

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \le 0\\2 - x < 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\x > 2\end{array} \right.$. Không có giá trị $x$ thỏa mãn.

g) ĐK: $5{x^2} - 3x + 8 \ge 0$

$$5{x^2} - \left( {8 - 5} \right)x + 8 \ge 0$$

$$\left( {5{x^2} - 8x} \right) + \left( {5x - 8} \right) \ge 0$$

$$\left( {5x - 8} \right)\left( {x + 1} \right) \ge 0$$

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}5x - 8 \ge 0\\x + 1 \ge 0\end{array} \right.$ nên $x \ge \frac{8}{5}$.

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}5x - 8 \le 0\\x + 1 \le 0\end{array} \right.$ nên $x \le - 1$.

h) ĐK: $5{x^2} + 4x + 7 \ge 0$

$$25{x^2} + 20x + 35 \ge 0$$

$$\left( {25{x^2} + 2.5x.2 + 4} \right) + 31 \ge 0$$

${\left( {5x + 2} \right)^2} + 31 \ge 0,$ với mọi $x.$

a) $- 0{,}8\sqrt {{{\left( { - 0{,}125} \right)}^2}} = - 0{,}8\left| { - 0{,}125} \right| = - 0{,}8.0{,}125 = - 0{,}1.$

b) $\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^6}} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^{3.2}}} = \sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 2} \right)}^3}} \right]}^2}} = \left| {{{\left( { - 2} \right)}^3}} \right| = {2^3} = 8.$

c) $\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 3 - 2} \right| = 2 - \sqrt 3 .$

d) $\sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 - 3} \right)}^2}} = \left| {2\sqrt 2 - 3} \right| = 3 - 2\sqrt 2 .$

e) $\sqrt {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \left| {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right| = \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$

f) $\sqrt {{{\left( {0{,}1 - \sqrt {0{,}1} } \right)}^2}} = \left| {0{,}1 - \sqrt {0{,}1} } \right| = \left| {\sqrt {0{,}1} \left( {\sqrt {0{,}1} - 1} \right)} \right| = \sqrt {0{,}1} \left( {1 - \sqrt {0{,}1} } \right) = \sqrt {0{,}1} - 1.$

g) $\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 - 2\sqrt 3 .1 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 3 - 1} \right| = \sqrt 3 - 1.$

h) $\sqrt {3 + 2\sqrt 2 } = \sqrt {2 + 2.\sqrt 2 .1 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 2 + 1} \right| = \sqrt 2 + 1.$

i) $\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } = \sqrt {5 - 2.\sqrt 5 .2 + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 5 - 2} \right| = \sqrt 5 - 2.$

j) $\sqrt {16 - 6\sqrt 7 } = \sqrt {\left( {7 - 2.\sqrt 7 .3 + 9} \right)} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 3} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 7 - 3} \right| = 3 - \sqrt 7 .$

a) $2\sqrt {{x^2}} = 2\left| x \right| = - 2x.$

b) $\frac{1}{2}\sqrt {{x^{10}}} = \frac{1}{2}\sqrt {{x^{5.2}}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {{x^5}} \right)}^2}} = \frac{1}{2}\left| {{x^5}} \right| = - \frac{1}{2}{x^5}.$

c) Ta có:

• $a \le 5 \Rightarrow a - 5 \le 0$ • $\sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2}} = \left| {a - 5} \right| = 5 - a$

d) Ta có:

• $x \le 10 \Rightarrow x - 10 \le 0 \Rightarrow {\left( {x - 10} \right)^5} \le 0 \Rightarrow {\left( {10 - x} \right)^5} \ge 0.$

• $\sqrt {{{\left( {x - 10} \right)}^{10}}} = \sqrt {{{\left[ {{{\left( {x - 10} \right)}^5}} \right]}^2}} = \left| {{{\left( {x - 10} \right)}^5}} \right| = \left| {{{\left( {10 - x} \right)}^5}} \right| = {\left( {10 - x} \right)^5}.$

e) Ta có:

• $x < 4 \Rightarrow x - 4 < 0$

• $x - 4 + \sqrt {{x^2} - 8x + 16} = x - 4 + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} = x - 4 + \left| {x - 4} \right| = x - 4 - \left( {x - 4} \right) = 0$

f) Ta có:

• $0 \le x \le y$ nên $x - y \le 0$ hay $y - x \ge 0$

• $\sqrt {{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}} = \sqrt {{{\left[ {\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)} \right]}^2}} = \sqrt {{{\left[ {\sqrt {{x^2}} - \sqrt {{y^2}} } \right]}^2}}$

$$= \sqrt {{{\left( {x - y} \right)}^2}} = \left| {x - y} \right| = - \left( {x - y} \right) = y - x.$$

a)$\,\frac{{3 - \sqrt x }}{{x - 9}} = \frac{{3 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = - \frac{1}{{\sqrt x + 3}}.$

b) $\frac{{x - 5\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x - 3}} = \sqrt x - 2.$

c) $6 - 2x - \sqrt {9 - 6x + {x^2}} = 6 - 2x - \sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2}} = 6 - 2x - \left| {3 - x} \right| = 6 - 2x - 3 + x = 3 - x.$

a) $\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} = 3 - x$

Ta có biến đổi: $\left| {x - 3} \right| = 3 - x$

Ta có hai trường hợp:

TH 1: Nếu $x \ge 3$ thì $x - 3 = 3 - x \Leftrightarrow x = 3\left( {TM} \right)$

TH 2: Nếu $x < 3$ thì $3 - x = 3 - x \Leftrightarrow 0 = 0\left( {TM} \right)$

Vậy tất cả $x \le 3$ đều thỏa mãn.

b). $\sqrt {25 - 20x + 4{x^2}} + 2x = 5$

Ta có biến đổi: $\sqrt {{{\left( {5 - 2x} \right)}^2}} = 5 - 2x$ hay $\left| {5 - 2x} \right| = 5 - 2x$

Ta có hai trường hợp:

TH1: Nếu $x \le \frac{5}{2}$ thì $5 - 2x = 5 - 2x$ nên $0 = 0\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)$

TH2: Nếu $x > \frac{5}{2}$ thì $2x - 5 = 5 - 2x$ hay $x = \frac{5}{2}$ (L)

Vậy tất cả $x \le \frac{5}{2}$đều thỏa mãn.

c) $\sqrt {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{{16}}} = \frac{1}{4} - x$

Ta có biến đổi: $\sqrt {{{\left( {x - \frac{1}{4}} \right)}^2}} = \frac{1}{4} - x$ hay $\left| {x - \frac{1}{4}} \right| = \frac{1}{4} - x$

Tương tự ta có: tất cả $x \le \frac{1}{4}$đều thỏa mãn.

d). $\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } = \sqrt {x - 1} - 1$.

Điều kiện: $x \ge 1$

Ta có biến đổi: $\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} = \sqrt {x - 1} - 1 \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| = \sqrt {x - 1} - 1$

Ta có hai trường hợp:

Nếu $\sqrt {x - 1} \ge 1$ thì $x \ge 2$ nên $\sqrt {x - 1} - 1 = \sqrt {x - 1} - 1$ (TM)

Nếu: $\sqrt {x - 1} < 1$ thì $x < 2$ nên $1 - \sqrt {x - 1} = \sqrt {x - 1} - 1$ hay $x = 2$ (TM)

Vậy: $x \ge 2$ đều thỏa mãn.

e) $\sqrt {1 - 12x + 36{x^2}} = 5$

Ta có biến đổi: $\sqrt {{{\left( {1 - 6x} \right)}^2}} = 5$ hay $\left| {1 - 6x} \right| = 5$

Ta có hai trường hợp:

Nếu: $x \le \frac{1}{6}$ thì $1 - 6x = 5$ hay $x = - \frac{2}{3}$ (TM)

Nếu: $x > \frac{1}{6}$ thì $6x - 1 = 5$ hay $x = 1$ (TM)

Vậy: $x = - \frac{2}{3}$ và $x = 1$ là giá trị cần tìm.

g). $\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } = 2$

Điều kiện: $x \ge 1$

Ta có biến đổi: $\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} = 2$ hay $\left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| = 2$

Ta có hai trường hợp:

TH1: $\sqrt {x - 1} + 1 = 2$ hay $\sqrt {x - 1} = 1$ nên $x - 1 = 1$, suy ra $x = 2$

TH2: $\sqrt {x - 1} + 1 = - 2$ hay $\sqrt {x - 1} = - 3$ (vô lý).

Vậy: $x = 2$ là giá trị cần tìm.

a) ${x^2} - 11 = \left( {x - \sqrt {11} } \right)\left( {x + \sqrt {11} } \right)$.

b) ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2}$.

c) $x - 5 = \left( {\sqrt x + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt 5 } \right)$ (với $x > 0$)

d) $5 - 7{x^2} = \left( {\sqrt 5 - \sqrt {7x} } \right)\left( {\sqrt 5 + \sqrt {7x} } \right)$ (với $x > 0$)

e) $3 + 4x = {\sqrt 3 ^2} - {\sqrt {4x} ^2} = \left( {\sqrt 3 - \sqrt {4x} } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt {4x} } \right)$ (với $x < 0$)

a). $9 + 4\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^2}$

$$VT = 5 + 2.\sqrt 5 .2 + 4 = {\sqrt 5 ^2} + 2.\sqrt 5 .2 + {2^2} = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^2} = VT$$

b). Ta có biến đổi:

$$\begin{array}{l}VT = \sqrt {5 + 2.\sqrt 5 .2 + 4} - \sqrt 5 = \sqrt {{{\sqrt 5 }^2} + 2.\sqrt 5 .2 + {2^2}} - \sqrt 5 \\\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}^2}} - \sqrt 5 = \left| {\sqrt 5 + 2} \right| - \sqrt 5 = \sqrt 5 + 2 - \sqrt 5 = 2 = VP\end{array}$$

c). $VT = \sqrt {16 + 2.4.\sqrt 7 + 7} - \sqrt 7 = \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 7 + {{\sqrt 7 }^2}} - \sqrt 7$

$$= \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt 7 = \left| {4 + \sqrt 7 } \right| - \sqrt 7 = 4 + \sqrt 7 - \sqrt 7 = 4 = VP$$

d). $VT = \sqrt {a - 2 + 2.\sqrt {a - 2} 2 + 4} + \sqrt {a - 2 - 2.\sqrt {a - 2} .2 + 4}$

$= \left| {\sqrt {a - 2} + 2} \right| + \left| {\sqrt {a - 2} - 2} \right| = \sqrt {a - 2} + 2 + 2 - \sqrt {a - 2} = 4 = VP$ (vì $2 \le a \le 6$)