10 câu trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Hàm số lượng giác và đồ thị có đáp án

Chu kỳ của${\rm{sin}}\frac{{\rm{x}}}{{\rm{2}}}$là ${{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\left| {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}} \right|}}{\rm{ = 4\pi }}$và Chu kỳ của${\rm{cos}}\frac{{{\rm{3x}}}}{{\rm{2}}}$là ${{\rm{T}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\left| {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}} \right|}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{4\pi }}}}{{\rm{3}}}$

Chu kì của hàm ban đầu là bội chung nhỏ nhất của hai chu kì T$_{1}$ và T$_{2}$ vừa tìm được ở trên.

Chu kì của hàm ban đầu ${\rm{T = 4\pi }}$Đáp án cần chọn là: C

Xét hàm số${\rm{y = sinx}}$ trên đoạn$\left[ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{;}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right]$

Hàm số đồng biến trên khoảng$\left( { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{;}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right)$

Vậy$\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{;}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right]} {\rm{y = sin}}\left( { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = }} - \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}$;$\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{;}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right]} {\rm{y = sin}}\left( { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = }} - {\rm{1}}$

Đáp án cần chọn là: B

${\rm{y = sinx; y = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{sin2x; y = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{sin3x}}$ có chu kì tuần hoàn lần lượt là${\rm{2\pi ; \pi ; }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}$ nên hàm số${\rm{y = sinx + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{sin2x + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{sin3x}}$có chu kì tuần hoàn bội chung nhỏ nhất của${\rm{2\pi ; \pi ; }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}$

Vậy${\rm{y = sinx + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{sin2x + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{sin3x}}$ có chu kì tuần hoàn là$2\pi$

Đáp án cần chọn là: A

${\rm{y = f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}}}$có tập xác định D.${\rm{D = }}\left\{ {\left. {{\rm{x}} \in \mathbb{R}} \right|\sin {\rm{x}} \ne 0} \right\}$

Ta có${\rm{sinx}} \ne 0 \Rightarrow {\rm{sin}}\left( { - {\rm{x}}} \right) \ne 0 \Rightarrow \forall {\rm{x}} \in {\rm{D}} \Rightarrow - {\rm{x}} \in {\rm{D}}$

$${\rm{f}}\left( { - {\rm{x}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}\left( { - {\rm{x}}} \right)}}{\rm{ = }} - \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}}} \Rightarrow {\rm{f}}\left( { - {\rm{x}}} \right){\rm{ = }} - {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)$$

Từ đó suy ra hàm số${\rm{y = f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}}}$ là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Đáp án cần chọn là: A

Đk:$- 2019 \le {\rm{x}} \le 2019$

Nhận xét x = 0 là nghiệm của phương trình.

Nếu ${\rm{x = }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}$ là nghiệm của phương trình thì $x {\rm{ = }} - {{\rm{x}}_0}$ cũng là nghiệm của phương trình

Ta xét nghiệm của phương trình trên đoạn $\left[ {{\rm{0; 2019}}} \right]$. Vẽ đồ thị của hàm số ${\rm{y = sinx}}$ và ${\rm{y = }}\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{2019}}}}$. Ta thấy

Trên đoạn $\left[ {{\rm{0; 2\pi }}} \right]$phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trên nửa khoảng $\left( {{\rm{2\pi ; 4\pi }}} \right]$phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trên nửa khoảng $\left( {{\rm{4\pi ; 6\pi }}} \right]$ phương trình có hai nghiệm phân biệt

…

Trên nửa khoảng $\left( {{\rm{640\pi ; 642\pi }}} \right]$phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trên nửa khoảng $\left( {{\rm{642\pi ; 2019}}} \right]$phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Như vậy trên đoạn $\left[ {{\rm{0; 2019}}} \right]$phương trình có một nghiệm x = 0 và ${\rm{321x2 + 1 = 643}}$nghiệm dương phân biệt. Mà do ${\rm{x = }}{{\rm{x}}_0}$ là nghiệm của phương trình thì ${\rm{x = }} - {{\rm{x}}_0}$ cũng là nghiệm của phương trình nên trên nửa khoảng $\left[ { - {\rm{2019; }}0} \right)$phương trình cũng có 643 nghiệm âm phân biệt.

Do đó trên đoạn $\left[ { - 2019;2019} \right]$phương trình có số nghiệm thực là ${\rm{643x2 + 1 = 1287}}$nghiệm

Vậy số nghiệm thực của phương trình đã cho là 1287 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B

$${\rm{x}} \in \left[ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{; }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}} \right] \Rightarrow - 1 \le {\rm{sinx}} \le \frac{1}{2}$$

Đặt${\rm{t = sinx; x}} \in \left[ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{; }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}} \right] \Rightarrow - 1 \le {\rm{t}} \le \frac{1}{2}$

Ta có có hoành độ đỉnh${\rm{t = }}1 \notin \left[ { - 1;\frac{1}{2}} \right]$

Giá trị lớn nhất của hàm số là ${\rm{f}}\left( { - 1} \right){\rm{ = 7}}$

Giá trị lớn nhất của hàm số là ${\rm{f}}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{7}}}{{\rm{2}}}$

Đáp án cần chọn là: B

**

$${\rm{h = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{\pi t}}}}{{\rm{8}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right){\rm{ + 3}} \le \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{ + 3 = }}\frac{{\rm{7}}}{{\rm{2}}}$$

Đẳng thức xảy ra khi${\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{\pi t}}}}{{\rm{8}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right){\rm{ = 1}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm{\pi t}}}}{{\rm{8}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ = k2\pi }} \Leftrightarrow {\rm{t = 14k}}$

Do${\rm{k}} \in \mathbb{Z}$và $0\left( {\rm{h}} \right) \le {\rm{t}} \le 24\left( {\rm{h}} \right)$nên k = 1. Vậy t = 14(h)

Đáp án cần chọn là: D

Đặt${\rm{y = }}\frac{{{\rm{3sin2x + cos2x}}}}{{{\rm{sin2x + 4co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{3sin2x + cos2x}}}}{{{\rm{sin2x + 2cos2x + 3}}}}$

(Do${\rm{sin2x + 2cos2x + 3 > 0,}}\forall {\rm{x}} \in \mathbb{R} \Rightarrow$hàm số xác định trên$\mathbb{R}$)

$$\Leftrightarrow \left( {{\rm{3}} - {\rm{y}}} \right){\rm{sin}}\,{\rm{2x + }}\left( {{\rm{1}} - {\rm{2y}}} \right){\rm{cos2x = 3y}}$$

Suy ra$\left[ {{{\left( {{\rm{3}} - {\rm{y}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\left( {{\rm{1}} - {\rm{2y}}} \right)}^{\rm{2}}}} \right]\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{2x + co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{2x}}} \right) \ge {\rm{9}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5y}} - 5 \le 0$

$$\Leftrightarrow \frac{{ - 5 - \sqrt {65} }}{4} \le {\rm{y}} \le \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}$$

$\Rightarrow \max {\rm{y = }}\frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}$. Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4} \le {\rm{m + 1}} \Leftrightarrow {\rm{m}} \ge \frac{{\sqrt {65} - 9}}{4}$

Đáp án cần chọn là: C

Vì${\rm{sin}}\left| {\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right)} \right| \le {\rm{1}} \Rightarrow {\rm{y = 4sin}}\left| {\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right){\rm{ + 10}} \le {\rm{14}}} \right|$

Ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất

$$\Leftrightarrow {\rm{y = 14}} \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left| {\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right)} \right|{\rm{ = 1}} \Leftrightarrow \frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi }} \Leftrightarrow {\rm{t = 149 + 356k}}$$

Mà $0 < {\rm{t}} \le 365 \Leftrightarrow 0 < 149 + 356{\rm{k}} \le 365 \Leftrightarrow - \frac{{149}}{{356}} < {\rm{k}} \le \frac{{54}}{{89}}$

Vì${\rm{k}} \in \mathbb{Z}$ nên k = 0.

Với k = 0 t = 149 tức rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện $0 < t \le 365$thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).

Đáp án cần chọn là: B

Đặt${\rm{t = cos2x,}}\, - 1 \le {\rm{t}} \le 1$

Phương trình${\rm{3f}}\left( {{\rm{cos2x}}} \right) - {\rm{4 = 0}}$trở thành${\rm{3f}}\left( {\rm{t}} \right) - {\rm{4 = 0}} \Leftrightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{t}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{3}}}$

Từ bảng biến thiên ta có${\rm{t = 1,}}\,{\rm{t = a}} \in \left( { - 1;0} \right)$

Ta có bảng biến thiên của${\rm{y = cosx}}$trên$\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]$

* Với${\rm{t = 1}} \Rightarrow {\rm{cos2x = 1}} \Leftrightarrow {\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = 2}} \Leftrightarrow {\rm{cosx = }} \pm 1$

Từ bảng biến thiên của hàm${\rm{y = cosx}}$trên$\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]$ta có ${\rm{cosx = }} \pm 1$ có bốn nghiệm phân biệt

*Với ${\rm{t = a,}}\,{\rm{a}} \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow {\rm{cos2x = a}} \Leftrightarrow {\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = a + 1}} \Leftrightarrow {\rm{cosx = }} \pm \sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}}$

Khi đó, từ bảng biến thiên của hàm ${\rm{y = cosx}}$ trên $\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]$ta có ${\rm{cosx = }}\sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \, \in \left( {0;1} \right)$ có ba nghiệm phân biệt; ${\rm{cosx = }} - \sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \, \in \left( { - 1;0} \right)$ có bốn nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình có 11 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C