10 câu trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Hàm số lượng giác và đồ thị có đáp án

Chu kỳ của${\rm{sin}}\frac{{\rm{x}}}{{\rm{2}}}$là ${{\rm{T}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\left| {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}} \right|}}{\rm{ = 4\pi }}$và Chu kỳ của${\rm{cos}}\frac{{{\rm{3x}}}}{{\rm{2}}}$là ${{\rm{T}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\left| {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}} \right|}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{4\pi }}}}{{\rm{3}}}$

Chu kì của hàm ban đầu là bội chung nhỏ nhất của hai chu kì T$_{1}$ và T$_{2}$ vừa tìm được ở trên.

Chu kì của hàm ban đầu ${\rm{T = 4\pi }}$Đáp án cần chọn là: C

Xét hàm số${\rm{y = sinx}}$ trên đoạn$\left[ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{;}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right]$

Hàm số đồng biến trên khoảng$\left( { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{;}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right)$

Vậy$\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{;}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right]} {\rm{y = sin}}\left( { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = }} - \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}$;$\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{;}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}} \right]} {\rm{y = sin}}\left( { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = }} - {\rm{1}}$

Đáp án cần chọn là: B

${\rm{y = sinx; y = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{sin2x; y = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{sin3x}}$ có chu kì tuần hoàn lần lượt là${\rm{2\pi ; \pi ; }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}$ nên hàm số${\rm{y = sinx + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{sin2x + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{sin3x}}$có chu kì tuần hoàn bội chung nhỏ nhất của${\rm{2\pi ; \pi ; }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}$

Vậy${\rm{y = sinx + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}{\rm{sin2x + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}{\rm{sin3x}}$ có chu kì tuần hoàn là$2\pi$

Đáp án cần chọn là: A

${\rm{y = f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}}}$có tập xác định D.${\rm{D = }}\left\{ {\left. {{\rm{x}} \in \mathbb{R}} \right|\sin {\rm{x}} \ne 0} \right\}$

Ta có${\rm{sinx}} \ne 0 \Rightarrow {\rm{sin}}\left( { - {\rm{x}}} \right) \ne 0 \Rightarrow \forall {\rm{x}} \in {\rm{D}} \Rightarrow - {\rm{x}} \in {\rm{D}}$

$${\rm{f}}\left( { - {\rm{x}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}\left( { - {\rm{x}}} \right)}}{\rm{ = }} - \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}}} \Rightarrow {\rm{f}}\left( { - {\rm{x}}} \right){\rm{ = }} - {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)$$

Từ đó suy ra hàm số${\rm{y = f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}}}$ là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Đáp án cần chọn là: A

Đk:$- 2019 \le {\rm{x}} \le 2019$

Nhận xét x = 0 là nghiệm của phương trình.

Nếu ${\rm{x = }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}$ là nghiệm của phương trình thì $x {\rm{ = }} - {{\rm{x}}_0}$ cũng là nghiệm của phương trình

Ta xét nghiệm của phương trình trên đoạn $\left[ {{\rm{0; 2019}}} \right]$. Vẽ đồ thị của hàm số ${\rm{y = sinx}}$ và ${\rm{y = }}\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{2019}}}}$. Ta thấy

Trên đoạn $\left[ {{\rm{0; 2\pi }}} \right]$phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trên nửa khoảng $\left( {{\rm{2\pi ; 4\pi }}} \right]$phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trên nửa khoảng $\left( {{\rm{4\pi ; 6\pi }}} \right]$ phương trình có hai nghiệm phân biệt

…

Trên nửa khoảng $\left( {{\rm{640\pi ; 642\pi }}} \right]$phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trên nửa khoảng $\left( {{\rm{642\pi ; 2019}}} \right]$phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Như vậy trên đoạn $\left[ {{\rm{0; 2019}}} \right]$phương trình có một nghiệm x = 0 và ${\rm{321x2 + 1 = 643}}$nghiệm dương phân biệt. Mà do ${\rm{x = }}{{\rm{x}}_0}$ là nghiệm của phương trình thì ${\rm{x = }} - {{\rm{x}}_0}$ cũng là nghiệm của phương trình nên trên nửa khoảng $\left[ { - {\rm{2019; }}0} \right)$phương trình cũng có 643 nghiệm âm phân biệt.

Do đó trên đoạn $\left[ { - 2019;2019} \right]$phương trình có số nghiệm thực là ${\rm{643x2 + 1 = 1287}}$nghiệm

Vậy số nghiệm thực của phương trình đã cho là 1287 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B