10 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Giải tam giác và ứng dụng thực tế có đáp án (Thông hiểu)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin cho DABC, ta có:

a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc.cosA

= 32$^{2}$ + 45$^{2}$ – 2.32.45.cos87°

≈ 2898,3

Suy ra a ≈ $\sqrt {2898{,}3}$ ≈ 53,8.

Theo định lí sin, ta có $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}$

Suy ra $\sin B = \frac{{b.\sin A}}{a} \approx \frac{{32.\sin 87^\circ }}{{53{,}8}} \approx 0{,}6$.

Do đó $\widehat B \approx 37^\circ$

($\widehat B \approx 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$ không thỏa mãn do $\widehat A + \widehat B \approx 87^\circ + 143^\circ = 230^\circ > 180^\circ )$

∆ABC có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) \approx 180^\circ - \left( {87^\circ + 37^\circ } \right) = 56^\circ$.

Vậy a ≈ 53,8, $\widehat B \approx 37^\circ ,\,\,\widehat C \approx 56^\circ$.

Do đó ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

⦁ ∆ABC có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 40^\circ } \right) = 80^\circ$.

Do đó phương án A đúng.

⦁ Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$.

Suy ra $a = \frac{{c.\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{14.\sin 60^\circ }}{{\sin 80^\circ }} \approx 12{,}3$.

Do đó phương án B đúng.

Ta có $\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$

Suy ra $b = \frac{{c.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{14.\sin 40^\circ }}{{\sin 80^\circ }} \approx 9{,}1$.

Do đó phương án C đúng, phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

⦁ $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{2^2} + {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}}}{{2.2.\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $\widehat A = 60^\circ$.

⦁ $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} - {2^2}}}{{2.\sqrt 6 .\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Suy ra $\widehat B = 45^\circ$.

⦁ $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + {2^2} - {{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2.\sqrt 6 .2}} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}$.

Suy ra $\widehat C = 75^\circ$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo hệ quả định lí sin, ta có:

⦁ BC = 2R.sinA = 2.2.sin120° = $2\sqrt 3$.

⦁ AC = 2R.sinB = 2.2.sin45° = $2\sqrt 2$.

Theo định lí côsin, ta có BC$^{2}$ = AC$^{2}$ + AB$^{2}$ – 2.AC.AB.cosA

Suy ra ${\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + A{B^2} - 2.2\sqrt 2 .AB.\cos 120^\circ$

Khi đó $A{B^2} + 2\sqrt 2 .AB - 4 = 0$

Vì vậy $AB = \sqrt 6 - \sqrt 2$ hoặc $AB = - \sqrt 6 - \sqrt 2$

Vì AB là độ dài một cạnh của ∆ABC nên ta có AB > 0.

Do đó ta nhận $AB = \sqrt 6 - \sqrt 2$.

∆ABC có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {120^\circ + 45^\circ } \right) = 15^\circ$.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

⦁ Theo hệ quả định lí sin, ta có:

a = 2R.sinA = 2.6.sin60° = $6\sqrt 3$.

⦁ Ta có S = $\frac{1}{2}c{h_c} = \frac{1}{2}bc\sin A\,$.

Suy ra h$_{c}$ = b.sinA

Do đó $b = \frac{{{h_c}}}{{\sin A}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sin 60^\circ }} = 4$.

⦁ Theo định lí côsin, ta có a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc.cosA

Suy ra ${\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} = {4^2} + {c^2} - 2.4.c.\cos 60^\circ$

Khi đó c$^{2}$ – 4c – 92 = 0

Vì vậy $c = 2 + 4\sqrt 6$ hoặc $c = 2 - 4\sqrt 6$.

Vì c là độ dài một cạnh của ∆ABC nên c > 0.

Do đó ta nhận $c = 2 + 4\sqrt 6$.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo định lí côsin, ta có

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2.AB.AC.cosA

$= {4^2} + {5^2} - 2.4.5.\frac{3}{5} = 17$.

Suy ra $BC = \sqrt {17}$.

Nửa chu vi ∆ABC là:

$p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{4 + 5 + \sqrt {17} }}{2} = \frac{{9 + \sqrt {17} }}{2}$.

Diện tích ∆ABC là:

$S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}$

$= \sqrt {\frac{{9 + \sqrt {17} }}{2}\left( {\frac{{9 + \sqrt {17} }}{2} - 4} \right)\left( {\frac{{9 + \sqrt {17} }}{2} - 5} \right)\left( {\frac{{9 + \sqrt {17} }}{2} - \sqrt {17} } \right)}$

= 8 (đơn vị diện tích).

Ta có $S = \frac{1}{2}.BC.{h_a}$

$\Leftrightarrow 8 = \frac{1}{2}.\sqrt {17} .{h_a}$

$\Leftrightarrow {h_a} = \frac{{16\sqrt {17} }}{{17}}$

Vậy ta chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là R = 3.

∆ABC có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {30^\circ + 45^\circ } \right) = 105^\circ$.

Theo hệ quả định lí sin, ta có:

⦁ a = 2R.sinA = 2.3.sin30° = 3.

⦁ b = 2R.sinB = 2.3.sin45° = $3\sqrt 2$.

⦁ c = 2R.sinC = 2.3.sin105° = $\frac{{3\sqrt 6 + 3\sqrt 2 }}{2}$.

Nửa chu vi của ∆ABC là:

$p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{3 + 3\sqrt 2 + \frac{{3\sqrt 6 + 3\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{6 + 9\sqrt 2 + 3\sqrt 6 }}{4}$.

Ta có S = pr = $\frac{1}{2}$ab.sinC

$\Leftrightarrow \frac{{6 + 9\sqrt 2 + 3\sqrt 6 }}{4}.r = \frac{1}{2}.3.3\sqrt 2 .\sin 105^\circ$

$\Leftrightarrow \frac{{6 + 9\sqrt 2 + 3\sqrt 6 }}{4}.r = \frac{{9 + 9\sqrt 3 }}{4}$

⇔ r ≈ 0,94.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $\sqrt 6 - \sqrt 2 < 2\sqrt 2 < 2\sqrt 3$ nên c < b < a.

Do đó $\widehat C < \widehat B < \widehat A$.

Tức là, $\widehat A$ lớn nhất.

Theo hệ quả định lí côsin, ta có:

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2.2\sqrt 2 .\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}} = - \frac{1}{2}$.

Suy ra $\widehat A = 120^\circ$.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo hệ quả định lí côsin, ta có $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$.

Diện tích ∆ABC là: $S = \frac{1}{2}bc.\sin A$.

Ta có $\cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc.\sin A}}$

$= \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4.\frac{1}{2}bc.\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}$

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

• Theo hệ quả định lí sin, ta có:

$\sin C = \frac{c}{{2R}}$ và $\sin B = \frac{b}{{2R}}$.

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$.

• Ta có sinC = 2sinB.cosA

$\Leftrightarrow \frac{c}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

$$\Leftrightarrow c = 2b.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$$

$$\Leftrightarrow c = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{c}$$

⇔ c$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – a$^{2}$

⇔ b$^{2}$ = a$^{2}$

⇔ b = a (vì a, b > 0)

Hay AC = BC.

Suy ra ∆ABC cân tại C.

Vậy ta chọn phương án D.