10 Bài tập Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Ta thấy tập xác định của hàm số là $(-\infty ;3)\cup (3;+\infty )$.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$.

Đáp án đúng là: D

$f(x)=\frac{{x}^{2}+2x+3}{{x}^{2}-4x+3}=\frac{{x}^{2}+2x+3}{(x-3)(x-1)}$.

Ta thấy tập xác định của hàm số là $(-\infty ;\ 3)\cup (1;\ 3)\cup (3;\ +\infty )$.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng $(-\infty ;3)$, (1; 3) và $(3;\ +\infty )$.

Đáp án đúng là: B

$f(x)=\frac{2x+3}{{x}^{2}-x-6}=\frac{2x+3}{(x-3)(x+2)}$.

Ta thấy tập xác định của hàm số là $(-\infty ;\ -2)\cup (-2;\ 3)\cup (3;\ +\infty )$.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ , (–2;3) và $(3;+\infty )$, hàm số gián đoạn tại x = –2, x = 3.

Đáp án đúng là: A

Chỉ có hàm số f(x) = x$^{2}$ + 3 liên tục trên ℝ.

Hàm số f(x) = $\sqrt{x+3}$ gián đoạn khi x < –3, hàm số f(x) = $\frac{1}{x+3}$ gián đoạn tại x = –3.

Đáp án đúng là: D

Hàm số trên liên tục trên ℝ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại điểm x = ‒1.

Ta có f(‒1) = m;

$\underset{x\rightarrow -1}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow -1}{\lim }\frac{{x}^{3}+3x+2}{x+1}=\underset{x\rightarrow -1}{\lim }\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}$

$=\underset{x\rightarrow -1}{\lim }(x+2)=3=f(-1)=m$.

Vậy hàm số liên tục tại ℝ khi m = 3.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy hàm số liên tục tại mọi điểm $x\ne 0$.

Ta có f(0) = 0

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sqrt{2x+1}-1}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{(\sqrt{2x+1}-1)(\sqrt{2x+1}+1)}{x(\sqrt{2x+1}+1)}$

$=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{2x+1-1}{x(\sqrt{2x+1}+1)}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{2}{\sqrt{2x+1}+1}=1\ne f(0)$.

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta thấy hàm số liên tục với mọi $x\ne 0$.

Do đó, hàm số liên tục trên ℝ nếu hàm số cũng liên tục tại x = 0.

Ta có f(0) = 3m + 1

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}$

$=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}=3m+1$.

Vậy $m=-\frac{1}{6}$.