10 Bài tập Xét tính bị chặn của dãy số (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có: u$_{n}$ = n ≥ 1 ∀ n ∈ ℕ$^{*}$ và khi n → +∞ thì u$_{n}$ → +∞.

Vậy u$_{n}$ bị chặn dưới và không bị chặn trên.

Đáp án đúng là: B

Dãy số (u$_{n}$) là dãy số hữu hạn với n ∈ [1; 9].

⟹ u$_{1}$ ≤ u$_{n}$ ≤ u$_{9}$ $\Leftrightarrow$ 1 ≤ u$_{n}$≤ 81.

Vậy dãy số bị chặn.

Đáp án đúng là: C

Ta có: u$_{n}$ = 4 – n ≤ 3 ∀ n ∈ ℕ$^{*}$ và khi n → +∞ thì u$_{n}$ → –∞.

Vậy u$_{n}$ bị chặn trên và không bị chặn dưới.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$0 < {u_n} = \frac{2}{n} \le 2\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$

Vậy dãy số (u$_{n}$) bị chặn.

Đáp án đúng là: A

Ta có: -1 ≤ u$_{n}$ = sin(n) ≤ 1, ∀ n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy u$_{n}$là dãy số bị chặn.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{n}$ = $\frac{{n + 1}}{{4n + 2}}$> 0 ∀ n ∈ ℕ$^{*}$ ⟹ u$_{n}$ bị chặn dưới.

Ta có: u$_{n}$ = $\frac{{n + 1}}{{4n + 2}}$=$\frac{1}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{{4n + 2}}$

Mặt khác: $\frac{1}{{4n + 2}} \le \frac{1}{6} \Rightarrow {u_n} \le \frac{1}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

⟹ u$_{n}$ bị chặn trên.

Vậy u$_{n}$ bị chặn.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u$_{n}$ = $\frac{{4n + 2}}{{n + 1}}$> 0 ∀ n ∈ ℕ$^{*}$ ⟹ u$_{n}$ bị chặn dưới.

Ta có: u$_{n}$ = $\frac{{4n + 2}}{{n + 1}}$=$4 - \frac{2}{{n + 1}}$< 4 ⟹ u$_{n}$ bị chặn trên.

Vậy u$_{n}$ bị chặn: 0 < u$_{n}$ < 4.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $0 < {u_n} = \frac{1}{n} \le 1\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$

Vậy dãy số u$_{n}$ = $\frac{1}{n}$ bị chặn.

Đáp án đúng là: B

Ta có: -1 ≤ u$_{n}$ = 2cos(n) ≤ 1 ∀ n ∈ ℕ$^{*}$.

Suy ra u$_{n}$ = 2cos(n) là dãy số bị chặn.

Đáp án đúng là: D

Khi n → +∞ thì u$_{n}$ → +∞ ⟹ Dãy không bị chặn trên.

Xét phương trình bậc 2 có dạng:

y = 2x$^{2}$ – ax (x ≥ 1) (1).

Phương trình (1) có đạt cực tiểu tại x = $\frac{{ - \,( - \,a)}}{{2.2}} = \frac{a}{4}$

Giá trị cực tiểu của (1) là: y$_{min}$ = $2.{\left( {\frac{a}{4}} \right)^2} - a.\frac{a}{4} = \frac{{ - \,{a^2}}}{8}$.

$\Leftrightarrow$ y ≥ $\frac{{ - \,{a^2}}}{8}$ ⟹ u$_{n}$ ≥ $\frac{{ - \,{a^2}}}{8}$.

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán: $\frac{{ - \,{a^2}}}{8}$= – 5 ⟹ a$^{2}$ = 40.

a > 5 suy ra a = $2\sqrt {10}$.