10 bài tập Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) với đồ thị hàm số bậc nhất y = bx + c có lời giải

Đáp án đúng là: C

Để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) thì phương trình ax$^{2}$ = bx + c hay ax$^{2}$ – bx – c = 0 có nghiệm kép.

Đáp án đúng là: C

Nếu phương trình ax$^{2}$ – bx – c = 0 có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P).

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = x + 3 và parabol (P): y = 3x$^{2}$, khi đó ta có:

y = 3x$^{2}$ và y = x + 3.

Suy ra 3x$^{2}$ = x + 3 hay 3x$^{2}$ – x – 3 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = (–1)$^{2}$ – 4.3.(–3) = 37 > 0.

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Như vậy, đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, tức hai đồ thị hàm số này có hai điểm chung.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = x – 2 và parabol (P): y = –x$^{2}$, khi đó ta có:

y = –x$^{2}$ (1) và y = x – 2.

Suy ra –x$^{2}$ = x – 2 hay x$^{2}$ + x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = 1$^{2}$ – 4.1.(–2) = 9 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.$

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 1 - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 1 + 3}}{{2 \cdot 1}} = 1.$

Với x$_{1}$ = –2, thay vào (1), ta được: y = –(–2)$^{2}$ = –4.

Với x$_{2}$ = 1, thay vào (2), ta được: y = –1$^{2}$ = –1.

Như vậy, đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (–2; –4) và (1; –1).

Ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = 2x + 1 và parabol (P): y = x$^{2}$, khi đó ta có:

y = x$^{2}$ và y = 2x + 1.

Suy ra x$^{2}$ = 2x + 1 hay x$^{2}$ – 2x – 1 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆' = (–1)$^{2}$ – 1.(–1) = 2 > 0.

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Như vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Do đó phương án A không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Tương tự như trên, ta có các đường thẳng y = 2x và y = 2x + 3 cũng cắt parabol (P): y = x$^{2}$ tại hai điểm phân biệt.

⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = 2x – 3 và parabol (P): y = x$^{2}$, khi đó ta có:

y = x$^{2}$ và y = 2x – 3.

Suy ra x$^{2}$ = 2x – 3 hay x$^{2}$ – 2x + 3 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆' = (–1)$^{2}$ – 1.3 = –2 < 0.

Do đó phương trình (*) vô nghiệm nên đường thẳng (d) không cắt parabol (P): y = x$^{2}$, tức là hai đồ thị hàm số này không có điểm chung.

Vậy ta chọn phương án C.

>

Đáp án đúng là: A

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = k và parabol (P): $y = - \frac{1}{4}{x^2},$ khi đó ta có:

$y = - \frac{1}{4}{x^2}$ và y = k.

Suy ra $- \frac{1}{4}{x^2} = k$ hay x$^{2}$ = –4k (*).

Với k < 0 ta có –4k > 0 nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.</>

Như vậy, đường thẳng (d): y = k cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

Ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

***Cách 1. ⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng y = –x + 2 và parabol (P): y = x$^{2}$, khi đó ta có:* **

y = x$^{2}$ và y = –x + 2.

Suy ra x$^{2}$ = –x + 2 hay x$^{2}$ + x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = 1$^{2}$ – 4.1.(–2) = 9 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.$

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 1 - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 1 + 3}}{{2 \cdot 1}} = 1.$

Như vậy, đường thẳng y = –x + 2 cắt parabol (P): y = x$^{2}$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là –2 và 1. Do đó phương án A không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Giải tương tự, ta có hai đường thẳng y = –x – 2 và y = x – 2 đều không cắt parabol (P): y = x$^{2}$ nên không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng y = x + 2 và parabol (P): y = x$^{2}$, khi đó ta có:

y = x$^{2}$ và y = x + 2.

Suy ra x$^{2}$ = x + 2 hay x$^{2}$ – x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = (–1)$^{2}$ – 4.1.(–2) = 9 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.$

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 1;\,\,{x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + 3}}{{2 \cdot 1}} = 2.$

Như vậy, đường thẳng y = x + 2 cắt parabol (P): y = x$^{2}$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là –1 và 2. Do đó phương án B thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy ta chọn phương án B.

Cách 2. Thay x = –1 vào hàm số y = x$^{2}$, ta được: y = (–1)$^{2}$ = 1.

Thay x = 2 vào hàm số y = x$^{2}$, ta được: y = 2$^{2}$ = 4.

Do đó, đường thẳng (d) cần tìm cắt parabol (P): y = x$^{2}$ tại hai điểm phân biệt (–1; 1) và (2; 4).

Giả sử đường thẳng (d) cần tìm là đồ thị của hàm số y = ax + b.

Thay x = –1 và y = 1 vào hàm số trên, ta được: 1 = a.(–1) + b hay –a + b = 1.

Thay x = 2 và y = 4 vào hàm số trên, ta được: 4 = a.2 + b hay 2a + b = 4.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} - a + b = 1\\2a + b = 4\end{array} \right..$

Giải hệ phương trình trên bằng máy tính cầm tay ta được nghiệm là (a; b) = (1; 2).

Vậy đường thẳng (d) cần tìm có hàm số là: y = x + 2. Ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

– Giả sử A(x$_{A}$; y$_{A}$) và B(x$_{B}$; y$_{B}$). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.

Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.

⦁ AH // Ox nên AH = |x$_{A}$ – x$_{H}$| = |x$_{A}$ – x$_{B}$|.

⦁ BH // Oy nên BH = |y$_{A}$ – y$_{H}$| = |y$_{A}$ – y$_{B}$|.

⦁ $AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}}$ (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).

– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng y = 6x + 9 và parabol (P): y = –x$^{2}$, khi đó ta có:

y = –x$^{2}$ (1) và y = 6x + 9.

Suy ra –x$^{2}$ = 6x + 9 hay x$^{2}$ + 6x + 9 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆' = 3$^{2}$ – 1.9 = 0.

Do đó phương trình (*) có nghiệm kép là: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - 3}}{1} = - 3.$

Thay x = –3 vào hàm số y = –x$^{2}$, ta được: y = –(–3)$^{2}$ = –9.

Như vậy, đường thẳng y = 6x + 9 tiếp xúc với (P): y = –x$^{2}$ tại điểm M(–3; –9).

Vậy độ dài đoạn thẳng OM là:

$OM = \sqrt {{{\left( { - 3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 9 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {90} = 3\sqrt {10} .$

Đáp án đúng là: C

– Giả sử A(x$_{A}$; y$_{A}$) và B(x$_{B}$; y$_{B}$). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.

Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.

⦁ AH // Ox nên AH = |x$_{A}$ – x$_{H}$| = |x$_{A}$ – x$_{B}$|.

⦁ BH // Oy nên BH = |y$_{A}$ – y$_{H}$| = |y$_{A}$ – y$_{B}$|.

⦁ $AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}}$ (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).

– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = x – 2 và parabol (P): y = –x$^{2}$, khi đó ta có:

y = –x$^{2}$ (1) và y = x – 2.

Suy ra –x$^{2}$ = x – 2 hay x$^{2}$ + x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = 1$^{2}$ – 4.1.(–2) = 9 > 0 và $\sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3.$

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - 1 - 3}}{{2 \cdot 1}} = - 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 1 + 3}}{{2 \cdot 1}} = 1.$

Với x$_{1}$ = –2, thay vào (1), ta được: y = –(–2)$^{2}$ = –4.

Với x$_{2}$ = 1, thay vào (2), ta được: y = –1$^{2}$ = –1.

Như vậy, đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (–2; –4) và (1; –1).

Vậy độ dài đoạn thẳng AB là:

$$AB = \sqrt {{{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left[ { - 4 - \left( { - 1} \right)} \right]}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 .$$

Đáp án đúng là: C

– Giả sử A(x$_{A}$; y$_{A}$) và B(x$_{B}$; y$_{B}$). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.

Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.

⦁ AH // Ox nên AH = |x$_{A}$ – x$_{H}$| = |x$_{A}$ – x$_{B}$|.

⦁ BH // Oy nên BH = |y$_{A}$ – y$_{H}$| = |y$_{A}$ – y$_{B}$|.

⦁ $AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}}$ (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).

– Đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm 4 là đồ thị của hàm số y = 4.

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = 4 và parabol (P): y = 2x$^{2}$, khi đó ta có:

y = 2x$^{2}$ (1) và y = 4.

Suy ra 2x$^{2}$ = 4 hay x$^{2}$ = 2, do đó $x = \sqrt 2$ hoặc $x = - \sqrt 2 .$

Như vậy, đường thẳng (d): y = 4 cắt parabol (P): y = 2x$^{2}$ tại hai điểm phân biệt có tọa độ là $\left( {\sqrt 2 ;\,\,4} \right);\,\,\left( { - \sqrt 2 ;\,\,4} \right).$

Độ dài đoạn thẳng AB là: $AB = \sqrt {{{\left( { - \sqrt 2 - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 .$

Gọi H là giao điểm của đường thẳng (d): y = 4 với trục Oy tại điểm 4, khi đó H(0; 4).

Suy ra OH = |4| = 4.

Vậy diện tích tam giác OAB là:

${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt 2 = 4\sqrt 2$ (đơn vị diện tích).