10 Bài tập Xác suất của biến cố đối (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Số phần tử không gian mẫu: $\text{n}(\text{Ω}){\text{= C}}_{\text{9}}^{\text{3}}=84$.

Gọi biến cố A: “Lấy được ít nhất 1 viên bi màu xanh”.

$\overline{\text{A}}$ : “Lấy được 3 viên bi màu đỏ”.

Suy ra $\text{n}(\overline{\text{A}}){\text{= C}}_{\text{4}}^{\text{3}}=4$.

Do đó $\text{P}(\overline{\text{A}})\text{=}\frac{\text{n}(\overline{\text{A}})\ }{\text{n}(\text{Ω})}\text{=}\frac{\text{4}}{\text{84}}\text{=}\frac{\text{1}}{\text{21}}$.

Vậy xác suất của biến cố A là: $\text{P}(A)\text{= 1}-\text{P}(\overline{\text{A}})\text{=1}-\frac{\text{1}}{\text{21}}=\frac{20}{21}$.

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 22 viên bi đã cho.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $\text{n}(\text{Ω}){\text{= C}}_{\text{22}}^{\text{4}}\text{= 7 315.}$

Gọi A là biến cố “Lấy được 4 viên bi trong đó có ít nhất hai viên bi cùng màu” .

$\overline{A}$: “Lấy được 4 viên bi trong đó không có hai viên bi nào cùng màu”.

Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là $\text{n}(\overline{\text{A}}){\text{= C}}_{\text{7}}^{\text{1}}\cdot {\text{C}}_{\text{6}}^{\text{1}}\cdot {\text{C}}_{\text{5}}^{\text{1}}\cdot {\text{C}}_{\text{4}}^{\text{1}}\text{= 840.}$

Do đó $\text{P}(\overline{\text{A}})\text{=}\frac{\text{n}(\overline{\text{A}})}{\text{n}(\text{Ω})}\text{=}\frac{\text{840}}{\text{7 315}}=\frac{24}{209}$

Vậy xác suất cần tính $\text{P}(\text{A})\text{= 1}-\text{P}(\overline{\text{A}})\text{= 1}-\frac{\text{24}}{\text{209}}\text{=}\frac{\text{185}}{\text{209}}$.

Đáp án đúng là: D

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 người trong 20 người.

Suy ra số phần tử không gian mẫu là $\text{n}(\text{Ω}){\text{= C}}_{\text{20}}^{\text{3}}\text{= 1 140.}$

Gọi A là biến cố “3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào”.

$\overline{A}$: “3 người được chọn luôn có 1 cặp vợ chồng”.

Chọn 1 cặp vợ chồng trong 4 cặp vợ chồng, có ${\text{C}}_{\text{4}}^{\text{1}}$ cách.

Chọn thêm 1 người trong 18 người còn lại, có ${\text{C}}_{\text{18}}^{\text{1}}$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là $\text{n}(\overline{\text{A}}){\text{= C}}_{\text{4}}^{\text{1}}\cdot {\text{C}}_{\text{18}}^{\text{1}}\text{= 72.}$

Do đó $\text{P}(\overline{\text{A}})\text{=}\frac{\text{n}(\overline{\text{A}})}{\text{n}(\text{Ω})}\text{=}\frac{\text{72}}{\text{1 140}}\text{=}\frac{\text{6}}{\text{95}}$.

Vậy xác suất cần tính $\text{P}(\text{A})=1-\text{P}(\overline{\text{A}})=1-\frac{6}{95}=\frac{89}{95}$.

Đáp án đúng là: A

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong 40 học sinh.

Suy ra số phần tử không gian mẫu là $\text{n}(\text{Ω}){\text{= C}}_{\text{40}}^{\text{3}}\text{= 9 880.}$

Gọi A là biến cố “3 học sinh được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào”.

$\overline{A}$: “3 học sinh được chọn luôn có 1 cặp anh em sinh đôi”.

– Chọn 1 cặp em sinh đôi trong 4 cặp em sinh đôi, có ${\text{C}}_{\text{4}}^{\text{1}}$ cách.

– Chọn thêm 1 học sinh trong 38 học sinh còn lại, có ${\text{C}}_{\text{38}}^{\text{1}}$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là $\text{n}(\overline{\text{A}}){\text{= C}}_{\text{4}}^{\text{1}}\cdot {\text{C}}_{\text{38}}^{\text{1}}\text{= 152}$.

Do đó $\text{P}(\overline{\text{A}})\text{=}\frac{\text{n}(\overline{\text{A}})}{\text{n}(\text{Ω})}\text{=}\frac{\text{152}}{\text{9 880}}\text{=}\frac{1}{65}$.

Vậy xác suất cần tính là: $\text{P}(\text{A})=1-\text{P}(\overline{\text{A}})=1-\frac{1}{65}=\frac{64}{65}$.

Đáp án đúng là: C

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 chiếc giày từ 20 chiếc giày.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là ${\text{n(Ω) = C}}_{\text{20}}^{\text{4}}\text{= 4 845.}$

Gọi A là biến cố “4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi”.

$\overline{A}$: “4 chiếc giày được chọn không có đôi nào”.

– Số cách chọn 4 đôi giày từ 10 đôi giày là ${\text{C}}_{\text{10}}^{\text{4}}$.

– Mỗi đôi chọn ra 1 chiếc, mỗi chiếc có ${\text{C}}_{\text{2}}^{\text{1}}$ cách chọn. Suy ra 4 chiếc có ${({\text{C}}_{\text{2}}^{\text{1}})}^{\text{4}}$ cách chọn.

Số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là $\text{n}(\overline{\text{A}}){\text{= C}}_{\text{10}}^{\text{4}}\cdot {({\text{C}}_{\text{2}}^{\text{1}})}^{\text{4}}\text{= 3 360}$.

Do đó $\text{P}(\overline{\text{A}})\text{=}\frac{\text{n}(\overline{\text{A}})}{\text{n}(\text{Ω})}\text{=}\frac{\text{3 360}}{\text{4 845}}\text{=}\frac{224}{323}$.

Vậy xác suất cần tính là: $\text{P}(\text{A})=1-\text{P}(\overline{\text{A}})=1-\frac{224}{323}=\frac{99}{323}$.

Đáp án đúng là: D

Không gian mẫu là số cách xếp 10 người thành hàng dọc.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $\text{n(Ω) = 10!}$

Gọi A là biến cố “Anh A và anh B không đứng cạnh nhau”.

$\overline{A}$: “Anh A và anh B đứng cạnh nhau”.

– Có 2!.9! cách xếp A và B đứng cạnh nhau.

Suy ra, $\text{n}(\overline{\text{A}})\text{= 2!.9!}$

Do đó $\text{P}(\overline{\text{A}})\text{=}\frac{\text{n}(\overline{\text{A}})}{\text{n}(\text{Ω})}\text{=}\frac{\text{2!}\cdot \text{9!}}{\text{10!}}\text{=}\frac{1}{5}$

Vậy xác suất cần tính $\text{P}(\text{A})=1-\text{P}(\overline{\text{A}})=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$.

Đáp án đúng là: A

An có tất cả: 7 + 6 = 13 (cái kẹo).

Chọn 5 cái kẹo trong 13 cái kẹo. Số phần tử của không gian mẫu là: $\text{n}(\text{Ω}){\text{= C}}_{\text{13}}^{\text{5}}$.

Đặt A là biến cố “Chọn được 5 cái kẹo có đủ hai vị”.

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố “Chọn 5 cái kẹo chỉ có một vị”.

Trường hợp 1: Có ${\text{C}}_{\text{7}}^{\text{5}}$ cách chọn 5 cái kẹo vị hoa quả;

Trường hợp 2: Có ${\text{C}}_{6}^{\text{5}}$ cách chọn 5 cái kẹo vị socola.

Suy ra, $\text{n}(\overline{\text{A}}){\text{= C}}_{\text{7}}^{\text{5}}{\text{+ C}}_{\text{6}}^{\text{5}}$.

Do đó $\text{P}(\overline{\text{A}})\text{=}\frac{\text{n}(\overline{\text{A}})}{\text{n}(\text{Ω})}=\ \frac{{\text{C}}_{\text{7}}^{\text{5}}{\text{+ C}}_{\text{6}}^{\text{5}}}{{\text{C}}_{\text{13}}^{\text{5}}}\text{=}\frac{3}{143}$

Vậy $\text{P}(\text{A})=1-\text{P}(\overline{\text{A}})=1-\frac{3}{143}=\frac{140}{143}$.

Đáp án đúng là: A

Số cách chọn 4 học sinh lên bảng: $\text{n}(\text{Ω}){\text{= C}}_{\text{35}}^{\text{4}}$.

Đặt A là biến cố “4 học sinh được chọn có cả nam và nữ”.

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố “4 học sinh chỉ có nam hoặc chỉ có nữ”.

⦁ Chọn 4 học sinh là nam có ${\text{C}}_{\text{20}}^{\text{4}}$ cách.

⦁ Chọn 4 học sinh là nữ có ${\text{C}}_{\text{15}}^{\text{4}}$ cách.

Suy ra $\text{n}(\overline{\text{A}}){\text{= C}}_{\text{20}}^{\text{4}}{\text{+ C}}_{\text{15}}^{\text{4}}$

Do đó $\text{P}(\overline{\text{A}})\text{=}\frac{\text{n}(\overline{\text{A}})}{\text{n}(\text{Ω})}\text{=}\frac{{\text{C}}_{\text{20}}^{\text{4}}{\text{+ C}}_{\text{15}}^{\text{4}}}{{\text{C}}_{35}^{4}}\text{=}\frac{621}{\text{5 236}}.$

Xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ:

$\text{P}(\text{A})=1-\text{P}(\overline{\text{A}})=1-\frac{621}{\text{5 236}}=\frac{\text{4 615}}{\text{5 236}}.$

Đáp án đúng là: A

Chọn ngẫu nhiên 1 quả cầu có ${\text{C}}_{\text{35}}^{\text{1}}\text{= 35}$ cách. Suy ra n(Ω) = 35.

Gọi E là biến cố “Chọn được một quả cầu đỏ hoặc ghi số lẻ” thì $\overline{\text{E}}$ là biến cố “Chọn được một quả cầu xanh và ghi số chẵn”.

Trong 15 quả cầu màu xanh đánh số từ 1 đến 15, có 7 quả cầu ghi số chẵn.

Do đó $\text{n}(\overline{\text{E}})\text{= 7}$.

Suy ra, xác suất biến cố E là: $\text{P}(\text{E})=1-\text{P}(\overline{\text{E}})=1-\frac{7}{35}=\frac{28}{35}$.