10 Bài tập Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Ta có: SC ∩ (ABC) = C.

Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A.

Do đó, ta có: $(SC,(ABC))=(SC,AC)=\widehat{SCA}$ .

Đáp án đúng là: A

Ta có: SB ∩ (ABC) = B

Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A.

Do đó, ta có: $(SB,(ABC))=(SB,AB)=\widehat{SBA}$ .

Đáp án đúng là: C

Ta có:

BC ⊥ AB (tam giác ABC vuông tại B)

BC ⊥ SA (SA ⊥ (ABC))

Suy ra: BC ⊥ (SAB).

Khi đó hình chiếu vuông góc của C lên (SAB) là B.

SC ∩ (SAB) = S

Vậy $(SC,(SAB))=(SC,SB)=\widehat{BSC}$ .

Đáp án đúng là: A

Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABCD) là A

A'C ∩ (ABCD) = C

Suy ra: $(A'C,(ABCD))=(A'C,AC)=\widehat{A'CA}$ .

Đáp án đúng là: B

Hình chiếu vuông góc của C' lên (ABC) là C

AC' ∩ (ABC) = A

Suy ra: $(AC',(ABC))=(AC',AC)=\widehat{C'AC}$ .

Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác đều nên AC = AB = $\sqrt{3}$ , CC' = AA' = 1.

Xét tam giác ACC' vuông tại C có:

$\tan \widehat{C'AC}=\frac{CC'}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{C'AC}=30^{\circ}$.

Đáp án đúng là: D

Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABCD) là A

A'C ∩ (ABCD) = C

Suy ra: $(A'C,(ABCD))=(A'C,AC)=\widehat{A'CA}$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC ta có:

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = 2$^{2}$ + 2$^{2}$ = 8$\Rightarrow AC=2\sqrt{2}$

Xét tam giác vuông ACA' có:

$\tan \widehat{ACA'}=\frac{AA'}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=1\Rightarrow \widehat{ACA'}=45^{\circ}$

Đáp án đúng là: B

Ta có:

BC ⊥ AB (do ABCD là hình vuông)

BC ⊥ AA' (do AA' ⊥ (ABCD))

Suy ra: BC ⊥ (ABB'A').

Hình chiếu vuông góc của C lên (ABB'A') là B

Mà A'C ∩ (ABB'A') = A'.

Do đó, ta có: $(A'C,(ABB'A'))=(A'C,A'B)=\widehat{BA'C}$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABA' ta có:

A'B$^{2}$ = AB$^{2}$ + AA'$^{2}$ = 1$^{2}$ + 1$^{2}$ = 2

$\Rightarrow A'B=\sqrt{2}$

Tương tự, ta tính được AC = $\sqrt{2}$ .

Từ đó suy ra A'C = $\sqrt{3}$ (định lí Pythagore trong tam giác vuông A'AC).

Xét tam giác A'BC vuông tại B có:

$\cos \widehat{BA'C}=\frac{A'B}{A'C}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Vậy côsin góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABB'A') bằng $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Đáp án đúng là: C

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có: SO ⊥ (ABCD).

Chọn cạnh bên SA.

SA ∩ (ABCD) = A và O là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) nên:

$(SA,(ABCD))=(SA,OA)=\widehat{SAO}$

Ta có: $AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow \cos \widehat{SAO}=\frac{OA}{SA}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{SAO}=60^{\circ}$.

Đáp án đúng là: B

Giả sử cạnh của hình lập phương là 1.

Hình chiếu vuông góc của BD' lên đáy (ABCD) là BD nên: $(BD',(ABCD))=(BD',BD)=\widehat{DBD'}$

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông BCD ta có:

BD$^{2}$ = BC$^{2}$ + CD$^{2}$ = 1$^{2}$ + 1$^{2}$ = 2 $\Rightarrow BD=\sqrt{2}$

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông BDD' ta có:

BD'$^{2}$ = BD$^{2}$ + D'D$^{2}$ = ${(\sqrt{2})}^{2}$ + 1$^{2}$ = 3 $\Rightarrow BD'=\sqrt{3}$

Trong tam giác vuông BDD' có:

$\cos \widehat{DBD'}=\frac{BD}{BD'}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm của đáy ABCD.

Vì MO // SA (sử dụng tính chất đường trung bình)

Mà SA ⊥ (ABCD) nên MO ⊥ (ABCD)

Hình chiếu vuông góc của M lên (ABCD) là O

BM ∩ (ABCD) = B

Do đó: $(BM,(ABCD))=(BM,BO)=\widehat{MBO}$ .

MO là đường trung bình của tam giác SAC nên: $MO=\frac{1}{2}SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Ta có:$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Trong tam giác vuông BMO có:

$\tan \widehat{MBO}=\frac{MO}{BO}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{BMO}=60^{\circ}$.

Vậy góc giữa đường thẳng BM và (ABCD) bằng 60°.