10 bài tập Xác định tọa độ các phép toán vectơ, tọa độ điểm, độ dài đoạn thẳng có lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $AB = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 6$.

Đáp án đúng là: B

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $\left( {\frac{{3 + 0}}{2};\frac{{1 - 2}}{2};\frac{{ - 3 + 1}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}; - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $2\overrightarrow a = \left( {8; - 6; - 2} \right)$ và $\overrightarrow b = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k$$\Rightarrow \overrightarrow b = \left( {1;2;1} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow b = \left( {3;6;3} \right)$.

Do đó $2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = \left( {8 + 3; - 6 + 6; - 2 + 3} \right) = \left( {11;0;1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\frac{3}{2}\overrightarrow a = \left( { - 3;9;3} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A(2; −3; 5) lên Oy. Suy ra H(0; −3; 0).

Vì A' đối xứng với A qua trục Oy nên H là trung điểm đoạn AA'.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = - 2\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = - 3\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = - 5\end{array} \right.$ Þ A'(−2; −3; −5).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {BA} = \left( { - 2;4; - 2} \right)$ và $\overrightarrow {OB} = \left( {3; - 1;4} \right)$ suy ra $2\overrightarrow {BA} = \left( { - 4;8; - 4} \right)$.

Vậy $\overrightarrow u = 2\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {OB} = \left( { - 7;9; - 8} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CK} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {GE} - \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GF} - \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GK} - \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {GK} - \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {GK} = \overrightarrow 0$.

Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác EFK.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 0 + 2}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{3 - 1 + 4}}{3} = 2\\{z_G} = \frac{{2 + 5 - 1}}{3} = 2\end{array} \right.$. Vậy G(1; 2; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( {8; - 7; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {NP} = \left( { - 1;10; - 3} \right)$.

Suy ra $MN = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {114}$ và $NP = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{10}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {110}$.

Chu vi của hình bình hành MNPQ là $2\left( {MN + NP} \right) = 2\sqrt {114} + 2\sqrt {110} = \sqrt {456} + \sqrt {440}$.

Khi đó a = 456; b = 440. Vậy a – b = 16.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow b - \overrightarrow a + 2\overrightarrow c = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow b = \overrightarrow a - 2\overrightarrow c = \left( {1; - 2;1} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {MA} = \left( {1 - x;2 - y;3 - z} \right)$ và $\overrightarrow {MB} = \left( { - 2 - x; - 4 - y;9 - z} \right)$.

Ta có MA = 2 MB $\Rightarrow \overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 2\left( { - 2 - x} \right)\\2 - y = - 2\left( { - 4 - y} \right)\\3 - z = - 2\left( {9 - z} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\\z = 7\end{array} \right.$

Þ M(−1; −2; 7). Khi đó $\overrightarrow {OM} = \left( { - 1; - 2;7} \right)$. Vậy $OM = \sqrt {54}$.