10 bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước khác có lời giải

Đáp án đúng là: B

Thay x$_{1}$ = 3 vào phương trình x$^{2}$ + (2m + 1)x + 3m = 0, ta được:

3$^{2}$ + (2m + 1).3 + 3m = 0

9 + 6m + 3 + 3m = 0

9m = –12

$m = \frac{{ - 4}}{3}.$

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1}{x_2} = 3m = 3 \cdot \frac{{ - 4}}{3} = - 4.$

Hay 3.x$_{2}$ = –4 nên ${x_2} = - \frac{4}{3}.$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mx$^{2}$ – 2(m + 1)x + m + 3 = 0 là phương trình bậc hai khi m ≠ 0.

Thay x = –2 vào phương trình, ta được:

m.(–2)$^{2}$ – 2.(m + 1).(–2) + m + 3 = 0

4m + 4m + 4 + m + 3 = 0

9m = –7

$m = - \frac{7}{9}$ (thỏa mãn m ≠ 0).

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Vì x = –2 là nghiệm của phương trình x$^{2}$ – 3mx + m = 0 nên ta có:

(–2)$^{2}$ – 3m.(–2) + m = 0

4 + 6m + m = 0

7m = –4

$m = - \frac{4}{7}.$

Theo định lí Viète, ta có: tích hai nghiệm của phương trình là $- 2 \cdot a = m,$ suy ra $- 2a = - \frac{4}{7},$ nên $a = \frac{2}{7}.$

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Phương trình x$^{2}$ – mx + m – 2 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = (–m)$^{2}$ – 4.1.(m – 2) = m$^{2}$ – 4m + 8 = (m – 2)$^{2}$ + 4 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right..$

Theo bài, $x_1^2 + x_2^2 = 7$

(x$_{1}$ + x$_{2}$)$^{2}$ – 2x$_{1}$x$_{2}$ = 7

m$^{2}$ – 2.(m – 2) = 7

m$^{2}$ – 2m + 4 = 7

m$^{2}$ – 2m – 3 = 0

m = –1 hoặc m = 3.

Tổng các giá trị của m bằng (–1) + 3 = 2.

Đáp án đúng là: B

Phương trình x$^{2}$ – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = [– (m – 2)]$^{2}$ – 1.(2m – 5) = m$^{2}$ – 4m + 4 – 2m + 5

= m$^{2}$ – 6m + 9 = (m – 3)$^{2}$ ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right..$

Theo bài, x$_{1}$(1 – x$_{2}$) + x$_{2}$(1 – x$_{1}$) < 4

x$_{1}$ – x$_{1}$x$_{2}$ + x$_{2}$ – x$_{1}$x$_{2}$ < 4

(x$_{1}$ + x$_{2}$) – 2x$_{1}$x$_{2}$ < 4

2(m – 2) – 2.(2m – 5) < 4

2m – 4 – 4m + 10 < 4

–2m < –2

m > 1.

Vậy ta chọn phương án B.

>>>>>>

Đáp án đúng là: C

Phương trình x$^{2}$ + 2(m – 1)x – m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x, có:

∆' = (m – 1)$^{2}$ – 1.(–m) = m$^{2}$ – 2m + 1 + m

= m$^{2}$ – m + 1 = ${\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ với mọi m.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right..$

Khi đó,

$A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}$

= [–2(m – 1)]$^{2}$ – 3.(–m)

= 4m$^{2}$ – 8m + 4 + 3m

= 4m$^{2}$ – 5m + 4

$$= {\left( {2m} \right)^2} - 2 \cdot 2m \cdot \frac{5}{4} + {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}}$$

$$= {\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}}$$

Với mọi m ta luôn có ${\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} \ge 0,$ suy ra ${\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}} \ge \frac{{39}}{{16}}.$

Do đó $A \ge \frac{{39}}{{16}}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} = 0,$ hay $2m - \frac{5}{4} = 0,$ nên $m = \frac{5}{8}.$

Vậy $m = \frac{5}{8}$ thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{{39}}{{16}}.$

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình x$^{2}$ – 2(m + 1)x + 4m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = [–(m + 1)]$^{2}$ – 1.4m = m$^{2}$ + 2m + 1 – 4m

= m$^{2}$ – 2m + 1 = (m – 1)$^{2}$ ≥ 0 với mọi m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ thì ∆' > 0, tức là (m – 1)$^{2}$ > 0, nên (m – 1)$^{2}$ ≠ 0, suy ra m ≠ 1.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x = \frac{{m + 1 + m - 1}}{1} = 2m;\,\,x = \frac{{m + 1 - \left( {m - 1} \right)}}{1} = 2.$

Trường hợp 1. Xét x$_{1}$ = 2m và x$_{2}$ = 2, thay vào x$_{1}$ = –3x$_{2}$, ta được:

2m = –3.2, suy ra m = –3 (thỏa mãn).

Trường hợp 2. Xét x$_{1}$ = 2 và x$_{2}$ = 2m thay vào x$_{1}$ = –3x$_{2}$, ta được:

2 = –3.2m. suy ra $m = - \frac{1}{3}$ (thỏa mãn).

Do đó $m \in \left\{ { - 3; - \frac{1}{3}} \right\}.$

Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x$^{2}$ – (2m – 1)x + m$^{2}$ – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = [–(2m – 1)]$^{2}$ – 4.1.(m$^{2}$ – 1) = 4m$^{2}$ – 4m + 1 – 4m$^{2}$ + 4 = 5 – 4m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ thì ∆ > 0, tức là 5 – 4m > 0, hay $m < \frac{5}{4}.$

Theo định lí Viète ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..$

Ta có (x$_{1}$ – x$_{2}$)$^{2}$ = (x$_{1}$ + x$_{2}$)$^{2}$ – 4x$_{1}$x$_{2}$

= (2m – 1)$^{2}$ – 4.(m$^{2}$ – 1)

= 4m$^{2}$ – 4m + 1 – 4m$^{2}$ + 4

$^{= 5 – 4m.}$

Theo bài, (x$_{1}$ – x$_{2}$)$^{2}$ = x$_{1}$ – 3x$_{2}$ nên x$_{1}$ – 3x$_{2}$ = 5 – 4m, suy ra x$_{1}$ = 3x$_{2}$ + 5 – 4m.

Thay vào (1), ta được:

3x$_{2}$ + 5 – 4m + x$_{2}$ = 2m – 1 hay 4x$_{2}$ = 6m – 6 nên ${x_2} = \frac{{3m - 3}}{2}.$

Từ đó ta có ${x_1} = 3 \cdot \frac{{3m - 3}}{2} + 5 - 4m = \frac{{9m - 9}}{2} + \frac{{10 - 8m}}{2} = \frac{{m + 1}}{2}.$

Thay ${x_1} = \frac{{m + 1}}{2}$ và ${x_2} = \frac{{3m - 3}}{2}$ vào (2) ta được:

$\frac{{m + 1}}{2} \cdot \frac{{3m - 3}}{2} = {m^2} - 1$

3m$^{2}$ – 3m + 3m – 3 = 4m$^{2}$ – 4

m$^{2}$ = 1

m = 1 hoặc m = –1 (thỏa mãn điều kiện).

Mà m là số nguyên dương, nên ta chọn m = 1.

Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x$^{2}$ – 2x + m – 3 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = (–1)$^{2}$ – 1.(m – 3) = 1 – m + 3 = 4 – m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ thì ∆' > 0, tức là 4 – m > 0, hay m < 4.

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 3\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..$

Do x$_{1}$ là nghiệm của phương trình nên ta có:

$x_1^2 - 2{x_1} + m - 3 = 0,$ suy ra $x_1^2 = 2{x_1} - m + 3.$

Thay $x_1^2 = 2{x_1} - m + 3$ vào biểu thức $x_1^2 + {x_1}{x_2} = 2{x_2} - 12,$ ta được:

2x$_{1}$ – m + 3 + x$_{1}$x$_{2}$ = 2x$_{2}$ – 12

2(x$_{1}$ – x$_{2}$) = –x$_{1}$x$_{2}$ + m – 15

2(x$_{1}$ – x$_{2}$) = –(m – 3) + m – 15

2(x$_{1}$ – x$_{2}$) = –12

x$_{1}$ – x$_{2}$ = –6

x$_{1}$ = x$_{2}$ – 6.

Thay x$_{1}$ = x$_{2}$ – 6 vào (1), ta được:

x$_{2}$ – 6 + x$_{2}$ = 2, hay 2x$_{2}$ = 8, nên x$_{2}$ = 4.

Suy ra x$_{1}$ = x$_{2}$ – 6 = 4 – 6 = –2.

Thay x$_{1}$ = –2 và x$_{2}$ = 4 vào (2), ta được:

–2.4 = m – 3, hay m – 3 = –8 nên m = –5 (thõa mãn).

Vậy có 1 giá trị của m là m = –5 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

</>

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x$^{2}$ – 2mx + m – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

$\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 1 \cdot \left( {m - 1} \right) = {m^2} - m + 1 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$ với mọi m.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ với mọi m.

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right..$

⦁ Để tồn tại $\sqrt {{x_1}} ,\,\,\sqrt {{x_2}}$ thì ta cần có ${x_1} \ge 0,\,\,{x_2} \ge 0$ hay $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \ge 0\\{x_1}{x_2} \ge 0\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}2m \ge 0\\m - 1 \ge 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \ge 1\end{array} \right.$ nên m ≥ 1.

⦁ Với m ≥ 1, ta có:

$\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 2$ nên ${\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = 4$ hay ${x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = 4$

Suy ra:

$2m + 2\sqrt {m - 1} = 4$

$2\sqrt {m - 1} = 4 - 2m$

$\sqrt {m - 1} = 2 - m\,\,\,\left( * \right)$

Để giải được phương trình trên, ta bình phương hai vế, tuy nhiên cần điều kiện hai vế không âm, tức là 2 – m ≥ 0 hay m ≤ 2.

Kết hợp 2 điều kiện, ta được: 1 ≤ m ≤ 2.

Với 1 ≤ m ≤ 2, bình phương hai vế phương trình (*) ta được:

m – 1 = (2 – m)$^{2}$

m – 1 = 4 – 4m + m$^{2}$

m$^{2}$ – 5m + 5 = 0 (**)

Phương trình (**) có ∆$_{m}$ = (–5)$^{2}$ – 4.1.5 = 25 – 20 = 5 > 0.

Do đó phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:

$$m = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2};\,\,m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.$$

Kết hợp điều kiện 1 ≤ m ≤ 2, ta có $m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.$

Vậy có 1 giá trị của m là $m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.