TopStudy

Đáp án và lời giải

10 bài tập Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng có lời giải

Về trang đề

Câu 1

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Đáp án đúng là: D

A. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

B. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

C. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{2a+2b−d=26a+2b+4c−d=14−2a+2b+4c−d=62a−2b+4c−d=6\left\{ \begin{array}{l}2a + 2b - d = 2\\6a + 2b + 4c - d = 14\\ - 2a + 2b + 4c - d = 6\\2a - 2b + 4c - d = 6\end{array} \right.⇔{a=1b=1c=2d=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 2\\d = 2\end{array} \right..

Vậy (x − 1)2^{2} + (y − 1)2^{2} + (z − 2)2^{2} = 4.

Câu 2

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

D. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng:

A. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

B. Vì O, A, B, C (S) nên ta có hệ phương trình

{d=04a−2b−6c+d=−14−2a+2b+d=−2−4a−2c+d=−5\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\4a - 2b - 6c + d = - 14\\ - 2a + 2b + d = - 2\\ - 4a - 2c + d = - 5\end{array} \right.⇔{a=−114b=−1514c=3714d=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{14}}\\b = - \frac{{15}}{{14}}\\c = \frac{{37}}{{14}}\\d = 0\end{array} \right..

Vậy phương trình mặt cầu cần lập: x2+y2+z2+17x+157y−377z=0{x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{7}x + \frac{{15}}{7}y - \frac{{37}}{7}z = 0.

Câu 3

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

C. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng:

D. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

A. Vì O, A, B, C (S) nên ta có hệ phương trình

{−4a+d=−4−8b+d=−16−8c+d=−16d=0\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 8b + d = - 16\\ - 8c + d = - 16\\d = 0\end{array} \right.⇔{a=1b=2c=2d=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\\d = 0\end{array} \right..

Bán kính R=a2+b2+c2−d=3R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = 3.

Do đó (x − 1)2^{2} + (y − 2)2^{2} + (z − 2)2^{2} = 9.

Câu 4

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

B. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

C. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

D. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{−12a+4b−6c+d=−49−2b−12c+d=−37−4a+2c+d=−5−8a−2b+d=−17\left\{ \begin{array}{l} - 12a + 4b - 6c + d = - 49\\ - 2b - 12c + d = - 37\\ - 4a + 2c + d = - 5\\ - 8a - 2b + d = - 17\end{array} \right.⇔{a=2b=−1c=3d=−3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\\c = 3\\d = - 3\end{array} \right..

Vậy phương trình mặt cầu: x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} − 4x + 2y − 6z – 3 = 0.

Câu 5

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

A. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

B. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

C. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{−2a+d=−1−2b+d=−1−2c+d=1−2a−2b−2c+d=−3\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d = - 1\\ - 2b + d = - 1\\ - 2c + d = 1\\ - 2a - 2b - 2c + d = - 3\end{array} \right.⇔{a=12b=12c=12d=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\\d = 0\end{array} \right..

Bán kính R=a2+b2+c2−d=32R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

Vậy phương trình mặt cầu: (x−12)2+(y−12)2+(z−12)2=34{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}.

Câu 6

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

D. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

A. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

B. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{−2a+d=−1−2b+d=−12c+d=−1−4a+2b−2c+d=−6\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d = - 1\\ - 2b + d = - 1\\2c + d = - 1\\ - 4a + 2b - 2c + d = - 6\end{array} \right.⇔{a=−52b=−52c=52d=−6\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{2}\\b = - \frac{5}{2}\\c = \frac{5}{2}\\d = - 6\end{array} \right..

Vậy mặt cầu (S): x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} + 5x + 5y − 5z – 6 = 0.

Câu 7

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

C. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

D. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

A. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{−2a−2b+d=−2−4b−2c+d=−5−2a−4c+d=−5−2a−2b−2c+d=−3\left\{ \begin{array}{l} - 2a - 2b + d = - 2\\ - 4b - 2c + d = - 5\\ - 2a - 4c + d = - 5\\ - 2a - 2b - 2c + d = - 3\end{array} \right.⇔{a=−32b=−12c=12d=−6\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{2}\\b = - \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\\d = - 6\end{array} \right..

Do đó mặt cầu có tâm I(−32;−12;12)I\left( {\frac{{ - 3}}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) và R=352R = \frac{{\sqrt {35} }}{2}.

Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} + 3x + y − z – 6 = 0.

Câu 8

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

B. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

C. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

D. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{−4a+d=−4−8b+d=−16−12c+d=−36−4a−8b−12c+d=−56\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 8b + d = - 16\\ - 12c + d = - 36\\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56\end{array} \right.⇔{a=1b=2c=3d=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\\d = 0\end{array} \right..

Do đó (S): x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} − 2x − 4y − 6z = 0.

Câu 9

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

A. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

B. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

C. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{−4a+d=−4−4b+d=−4−4c+d=−4−2a−2b−4c+d=−6\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 4b + d = - 4\\ - 4c + d = - 4\\ - 2a - 2b - 4c + d = - 6\end{array} \right.⇔{a=12b=12c=12d=−2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\\d = - 2\end{array} \right..

Vậy phương trình mặt cầu (S): x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} − x − y – z − 2 = 0.

Câu 10

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

D. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

A. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

B. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{−2b+d=−1−8a−2b+d=−17−4a−6b+d=−13−4a−2b+4c+d=−9\left\{ \begin{array}{l} - 2b + d = - 1\\ - 8a - 2b + d = - 17\\ - 4a - 6b + d = - 13\\ - 4a - 2b + 4c + d = - 9\end{array} \right.⇔{a=2b=1c=0d=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 0\\d = 1\end{array} \right..

Vậy I(2; 1; 0), R = 2.