10 bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng có lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2$.

Phương trình mặt cầu cần lập là: (x – 2)$^{2}$ + (y − 1)$^{2}$ + (z – 1)$^{2}$ = 4.

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt phẳng (ABC): $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ 6x + 3y + 2z – 6 = 0.

Có $R = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| 6 \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{7}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2.2 - 2.\left( { - 1} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3$.

Do đó phương trình mặt cầu (S): (x − 1)$^{2}$ + (y − 2)$^{2}$ + (z + 1)$^{2}$ = 9.

Đáp án đúng là: B

Ta có $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 1 - 3.2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \sqrt {14}$.

Phương trình mặt cầu cần lập là: (x + 1)$^{2}$ + (y − 1)$^{2}$ + (z − 2)$^{2}$ = 14.

Đáp án đúng là: B

Ta có $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 - 2.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là (x + 1)$^{2}$ + (y − 2)$^{2}$ + (z − 1)$^{2}$ = 9.

Đáp án đúng là: D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên trục Oz, suy ra H(0; 0; 2).

Ta có $\overrightarrow {HI} = \left( {3;4;0} \right)$.

Mặt cầu tâm I và tiếp xúc trục Oz có bán kính:

$R = d\left( {I,Oz} \right) = HI = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} = 5$.

Suy ra phương trình mặt cầu: (x − 3)$^{2}$ + (y − 4)$^{2}$ + (z − 2)$^{2}$ = 25.

Đáp án đúng là: D

Ta có $R = d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {75} \right|}}{{\sqrt {{{16}^2} + {{\left( { - 15} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 3$.

Phương trình mặt cầu cần lập là: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 9.

Đáp án đúng là: B

Gọi H là hình chiếu của I lên trục Oy H(0; 1; 0).

Khi đó R = d(I, Oy) = IH = $\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {13}$.

Phương trình mặt cầu cần lập là: (x − 2)$^{2}$ + (y − 1)$^{2}$ + (z + 3)$^{2}$ = 13.

Đáp án đúng là: B

Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu cần tìm.

Theo đề ta có $\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right)\\d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = IA\end{array} \right.$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\\\left| a \right| = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - b} \right)}^2} + {{\left( {4 - c} \right)}^2}} \end{array} \right.$$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 3\\c = 3\end{array} \right.$.

Suy ra mặt cầu cần lập có tâm I(3; −3; 3) và R = 3 có phương trình là

(x − 3)$^{2}$ + (y + 3)$^{2}$ + (z − 3)$^{2}$ = 9.

Đáp án đúng là: D

Ta có R = d(A, (Oxy)) = 1.

Suy ra phương trình mặt cầu cần lập có phương trình là:

(x + 2)$^{2}$ + y$^{2}$ + (z − 1)$^{2}$ = 1.