10 Bài tập Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Với B(3; 1) và C(5; 4), ta có .

Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nhận làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A(1; 2) nên có phương trình là: 2(x – 1) + 3(y – 2) = 0 tức là 2x + 3y – 8 = 0.

Vậy phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là: 2x + 3y – 8 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của cạnh BC .

Với B(1; 1) và C(4; 2), ta có $M(\frac{5}{2};\frac{3}{2}),$ .

Với A(0; –2) và $M(\frac{5}{2};\frac{3}{2})$ ta có $\overrightarrow{AM}=(\frac{5}{2};\frac{7}{2})$ .

Đường trung tuyến AM nhận $\overrightarrow{AM}=(\frac{5}{2};\frac{7}{2})$ làm một vectơ chỉ phương nên nhận $\overrightarrow{n}=(-7;5)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC là:

–7x + 5(y + 2) = 0 hay –7x + 5y + 10 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là giao điểm của BM và CN nên là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}x-2y+1=0 \\ y-1=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1 \\ y=1\end{matrix}.$ Do đó G (1; 1).

Gọi B(x$_{B}$; y$_{B}$). Vì điểm B thuộc đường trung tuyến BM: x – 2y + 1 = 0 nên ta có:

x$_{B}$ – 2y$_{B}$ + 1 = 0, suy ra x$_{B}$ = 2y$_{B}$ – 1. Khi đó B(2y$_{B}$ – 1; y$_{B}$).

Gọi C(x$_{C}$; y$_{C}$). Vì điểm C thuộc đường trung tuyến CN: y – 1 = 0 nên ta có:

y$_{C}$ – 1 = 0, suy ra y$_{C}$ = 1. Khi đó C(x$_{C}$; 1).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

$\{\begin{matrix}{x}_{G}=\frac{{x}_{A}+{x}_{B}+{x}_{C}}{3} \\ {y}_{G}=\frac{{y}_{A}+{y}_{B}+{y}_{C}}{3}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}1=\frac{1+2{y}_{B}-1+{x}_{C}}{3} \\ 1=\frac{3+{y}_{B}+1}{3}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}2{y}_{B}+{x}_{C}=3 \\ {y}_{B}+4=3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}_{C}=5 \\ {y}_{B}=-1\end{matrix}$.

Từ đó ta có tọa độ hai điểm B và C là: B(–3; –1) và C(5; 1).

Với A(1; 3) và B(–3; –1), ta có $\overrightarrow{AB}=(-4;-4)$

Phương trình đường thẳng AB đi qua A(1; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;1)$ là:

$\{\begin{matrix}x=1+t \\ y=3+t\end{matrix}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Với N(5; 3) và P(3; –4), ta có: $\overrightarrow{NP}=(-2;-7)$.

Xét ∆ABC có N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB nên NP là đường trung bình của tam giác. Do đó NP // BC.

Khi đó đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{NP}=(-2;-7)$ làm một vectơ chỉ phương nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(7;-2).$

Đường thẳng BC đi qua M(2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(7;-2).$ nên có phương trình là:

7(x – 2) – 2(y – 1) = 0 tức là 7x – 2y – 12 = 0.

Đường thẳng AC song song với đường thẳng MP nên phương trình đường thẳng AC đi qua N và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{n}_{2}}=(5;1)$ là:

5(x – 5) + 1(y – 3) = 0 tức là 5x + y – 28 = 0.

Đường thẳng BC song song với đường thẳng MN nên phương trình đường thẳng BC đi qua P và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{n}_{3}}=(2;-3)$ là:

2(x – 3) – 3(y + 4) = 0 tức là 2x – 3y – 18 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

⦁ Gọi AH và AD lần lượt là các đường cao và trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC.

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}7x-2y-3=0 \\ 6x-y-4=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1 \\ y=2\end{matrix}.$ Do đó A(1; 2).

Vì M là trung điểm của AB nên: $\{\begin{matrix}{x}_{B}=2{x}_{M}-{x}_{A}=3 \\ {y}_{B}=2{y}_{M}-{y}_{A}=-2\end{matrix}.$ Do đó B(3; –2).

⦁ Ta có AH ⊥ BC nên vectơ chỉ phương của AH là vectơ pháp tuyến của BC.

Đường thẳng AH: 6x – y – 4 = 0 có ${\overrightarrow{n}}_{AH}=(6;-1)$ nên ${\overrightarrow{n}}_{BC}=(1;6).$

Đường thẳng BC đi qua B(3; –2) và nhận ${\overrightarrow{n}}_{BC}=(1;6)$ làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0 hay x + 6y + 9 = 0.

⦁ D là giao điểm của BC và AD nên tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{matrix}7x-2y-3=0 \\ x+6y+9=0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=0 \\ y=-\frac{3}{2}\end{matrix}.$ Do đó $D(0;-\frac{3}{2}).$

Mà D là trung điểm của BC nên suy ra: $\{\begin{matrix}{x}_{C}=2{x}_{D}-{x}_{B}=-3 \\ {y}_{C}=2{y}_{D}-{y}_{B}=-1\end{matrix}.$ Do đó C(–3; –1).

⦁ Với A(1; 2) và C(–3; –1) ta có $\overrightarrow{AC}=(-4;-3),$ suy ra ${\overrightarrow{n}}_{AC}=(3;-4).$

Đường thẳng AC đi qua A(1; 2) và nhận ${\overrightarrow{n}}_{AC}=(3;-4)$ làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: 3(x – 1) – 4(y – 2) = 0 tức là 3x – 4y + 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi H là trung điểm của AB.

Tam giác ABC cân tại C nên đường trung tuyến CH đồng thời là đường cao, do đó CH ⊥ AB.

Khi đó đường cao CH nhận vectơ chỉ phương của AB làm một vectơ pháp tuyến.

Với B(2; –1) và A(4; 3), ta có H(3; 1) và $\overrightarrow{AB}=(-2;\ -4)=-2(1;\ 2).$

Khi đó đường cao CH đi qua điểm H(3; 1) và nhận $\overrightarrow{n}=(1;2)$ làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình là: 1(x – 3) + 2(y – 1) = 0, tức là x + 2y – 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Với A(2; 4) và C(2; 1) ta có tọa độ trung điểm M của AC là $M(2;\frac{5}{2}).$

Với B(5; 0) và $M(2;\frac{5}{2}).$ ta có $\overrightarrow{MB}=(3;-\frac{5}{2})=\frac{1}{2}(6;-5).$

Đường thẳng BM đi qua B(5; 0) và nhận $\overrightarrow{u}=(6;-5)$ làm một vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là: $\{\begin{matrix}x=5+6t \\ y=-5t\end{matrix}.$

Điểm N(20; y$_{N}$) nằm trên đường thẳng BM nên ta có $\{\begin{matrix}20=5+6t \\ {y}_{N}=-5t\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}t=\frac{5}{2} \\ {y}_{N}=-\frac{25}{2}\end{matrix}.$

Vậy ta chọn phương án B.