10 bài tập Vận dụng tích phân vào giải quyết bài toán liên quan thực tế có lời giải

Đáp án đúng là: D

Quãng đường vật đó đi được từ giấy thứ 4 đến giây thứ 10 là $\int\limits_4^{10} {\left( {3{t^2} + 5} \right)dt} = 966$ m.

Đáp án đúng là: D

Có $v\left( t \right) = \int {2\cos tdt = 2\sin t + C}$.

Vì v(0) = 0 nên C = 0. Do đó v(t) = 2sint.

Quãng đường vật đi được là $\int\limits_0^\pi {2\sin tdt} = \left. { - 2\cos t} \right|_0^\pi = 4$.

Đáp án đúng là: C

Khi xe dừng hẳn ta có v(t) = 0 −4t + 24 = 0 t = 6 (giây).

Ta có quãng đường ô tô đi được là $s = \int\limits_0^6 {\left( { - 4t + 24} \right)dt} = 72$ m.

Đáp án đúng là: C

Đổi 40 phút = 2400 giây.

Ta có v(t) = $\int {0{,}3dt} = 0{,}3t + C$.

Do v(0) = 0 nên C = 0. Do đó v(t) = 0,3t.

Quãng đường đi được trong 40 phút đầu tiên là $s = \int\limits_0^{2400} {0{,}3tdt} = 864000$ m.

Đáp án đúng là: C

Ta có $s = \int\limits_0^{24} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {tdt} + \int\limits_2^{20} {2dt} + \int\limits_{20}^{24} {\left( {12 - 0{,}5t} \right)dt}$

$= \left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^2 + \left. {2t} \right|_2^{20} + \left. {\left( {12t - \frac{{{t^2}}}{4}} \right)} \right|_{20}^{24}$$= 2 + 36 + 4 = 42$.

Đáp án đúng là: C

Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là

8 – 2t = 0 t = 4 giây.

Quãng đường quả bóng A di chuyển là ${s_A} = \int\limits_0^4 {\left( {8 - 2t} \right)dt} = 16$ m.

Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là

12 – 4t = 0 t = 3 giây.

Quãng đường quả bóng B di chuyển là ${s_B} = \int\limits_0^3 {\left( {12 - 4t} \right)dt} = 18m$.

Khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi dừng hẳn là S = s$_{A}$ + s$_{B}$ = 34 m.

Đáp án đúng là: A

Xét v(t) = 200 t$^{2}$ + 10t – 200 = 0 t = 10 hoặc t = −20.

Vậy thời gian máy bay đạt vận tốc 200 m/s là thời điểm t = 10 s sau khi bắt đầu chuyển động.

Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

$s = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)dt} = \frac{{2500}}{3}$.

Đáp án đúng là: D

Sự thay đổi của lợi nhuận là $\int\limits_{100}^{125} {P'\left( x \right)dx} = \int\limits_{100}^{125} {\left( { - 0{,}0004x + 9{,}3} \right)dx}$$= \left. {\left( { - 0{,}0002{x^2} + 9{,}3x} \right)} \right|_{100}^{125} = 231{,}375$ triệu đồng.

Đáp án đúng là: D

Thời điểm t ô tô đạt tốc độ 72 km/h (tức 20 m/s) là nghiệm của 30 – 2t = 20 t = 5.

Quãng đường đi được trong khoảng thời gian 5 giây là

$s = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^5 {\left( {30 - 2t} \right)dt = 125}$m.

Đáp án đúng là: C

Gọi v(t) = at$^{2}$ + bt + c.

Đồ thị v(t) là một phần parabol có đỉnh I(2; 9) và đi qua điểm A(0; 6) nên $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + c = 9\\a{.0^2} + b.0 + c = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 3}}{4}\\b = 3\\c = 6\end{array} \right.$. Tìm được $v\left( t \right) = - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6$

Vậy $S = \int\limits_0^3 {\left( { - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6} \right)} dt =$ 24,75 (km).