10 bài tập Vận dụng phương trình đường thẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế có lời giải

Đáp án đúng là: B

Để vận động viên đó bắn trúng hồng tâm thì trục d phải đi qua hồng tâm.

Thay điểm A(8; −19; 6m + 4) vào phương trình trục d ta được:

$\frac{{8 - 1}}{1} = \frac{{ - 19 - 2}}{{ - 3}} = \frac{{6m + 4 - 3}}{{ - 5}}$ 6m = −36 m = −6.

Đáp án đúng là: A

Phương trình tham số của đường cáp là $d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1 - 2k\\z = 5 + 6k\end{array} \right.$.

Sau 5 giây kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm M thì AM = 4.5 = 20 (m).

Vì M d M(−2; 1 – 2k; 5 + 6k) nên suy ra $\overrightarrow {AM} = \left( {0; - 2k;6k} \right)$.

Do 2 vectơ $\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow u$ cùng hướng nên k > 0.

Mà AM = 20 $\sqrt {{0^2} + 4{k^2} + 36{k^2}} = 20$ 40k$^{2}$ = 400 $\Leftrightarrow k = \pm \sqrt {10}$.

Vì k > 0 $k = \sqrt {10}$.

Vậy tọa độ $M\left( { - 2;1 - 2\sqrt {10} ;5 + 6\sqrt {10} } \right)$.

Khi đó a + 3b + c = $- 2 + 3\left( {1 - 2\sqrt {10} } \right) + 5 + 6\sqrt {10} = 6$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng AB đi qua điểm A(10; 3; 0) và nhận $\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}$.

Ta có $B\left( {550;{y_B};{z_B}} \right)$ nằm trên đường thẳng AB.

Theo giải thiết ta có x$_{B}$ = 550 nên $\frac{{550 - 10}}{2} = \frac{{{y_B} - 3}}{{ - 2}} = \frac{{{z_B}}}{1}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_B} = - 537\\{z_B} = 270\end{array} \right.$.

Vậy B(550; −537; 270).

Do đó $AB = \sqrt {{{\left( {550 - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 537 - 3} \right)}^2} + {{\left( {270 - 0} \right)}^2}} = 810$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình quỹ đạo chuyển động của tên lửa là $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 + 4t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.$.

Vì M(4; 5; 8) thuộc phương trình đường thẳng nên mục tiêu nằm trên quỹ đạo chuyển động của tên lửa.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng AB đi qua điểm A(200; 685; 436) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {440; - 135;38} \right)$ nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 200 + 440t\\y = 685 - 135t\\z = 436 + 38t\end{array} \right.$.

Thay tọa độ điểm C vào phương trình đường thẳng AB ta được

$\left\{ \begin{array}{l}420 = 200 + 440t\\617{,}5 = 685 - 135t\\450 = 436 + 38t\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = \frac{1}{2}\\t = \frac{7}{{19}}\end{array} \right.$.

Hệ này vô nghiệm nên điểm C không thuộc đường ngắm AB, anh Hùng ngắm thấy con gà lôi tía này.

Đáp án đúng là: C

Phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 3t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.$.

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta thấy tọa độ các điểm M, N, Q không thỏa mãn phương trình. Do đó viên đạn không bắn trúng mục tiêu ở các điểm này.

Thay tọa độ điểm P vào phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}4 = 2 + t\\7 = 1 + 3t\\ - 5 = - 1 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 2$. Vậy viên đạn bắn trúng mục tiêu đặt ở điểm P.

Đáp án đúng là: C

Vì M là giao điểm của d và d' nên ta có $d':\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 4k\\2 = 2 + 2k\\3t = 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\k = 0\end{array} \right.$ M(1; 2; 6).

Vậy S = 1 + 2 + 6 = 9.

Đáp án đúng là: A

Phương trình tham số của đường cáp treo là $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.$.

Với x$_{B}$ = 20 B(20; 10; 8); y$_{C}$ = 120 C(130; 120; 63).

Do đó $BC = \sqrt {{{110}^2} + {{110}^2} + {{55}^2}} = 165$.

Vậy vận tốc của cabin đi là v = 165 : 55 = 3 (m/s).

Đáp án đúng là: D

Phương trình tham số của đường cáp là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 + 2t\\z = 20 + 2t\end{array} \right.$.

Sau 30 giây cáp treo đến điểm M(3 + t; 4 + 2t; 20 + 2t).

Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {t;2t;2t} \right)$cùng hướng với $\overrightarrow u$ và AM = 5.30 = 150 nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}t > 0\\\sqrt {{t^2} + 4{t^2} + 4{t^2}} = 150\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t > 0\\3t = 150\end{array} \right.$$\Leftrightarrow t = 50$.

Do đó M(53; 104; 120). Suy ra a + b + c = 277.

Đáp án đúng là: D

Phương trình tham số của đường cáp là $\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.$.

Sau 180 giây, ta có AB = 4,5.180 = 810 mét.

Gọi B(10 + 2t; 3 – 2t; t).

Ta có AB = 810 $\Leftrightarrow \sqrt {4{t^2} + 4{t^2} + {t^2}} = 810 \Leftrightarrow 3t = 810 \Leftrightarrow t = 270$.

Tung độ của điểm B là 3 – 2.270 = −537.