10 Bài tập Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{1-3n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}-3}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{4{n}^{2}+3n+1}{{(3n-1)}^{2}}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{4{n}^{2}+3n+1}{9{n}^{2}-6n+1}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{3}{n}+\frac{1}{{n}^{2}}}{9-\frac{6}{n}+\frac{1}{{n}^{2}}}=\frac{4}{9}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{n+2{n}^{2}}{{n}^{3}+3n-1}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{{n}^{2}}-\frac{1}{{n}^{3}}}=\frac{0}{1}=0$ .

Đáp án đúng là: B

Ta có:$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{n\sqrt{n}+1}{{n}^{2}+2}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{{n}^{2}}}{1+\frac{2}{{n}^{2}}}=\frac{0}{1}=0$ .

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{n}^{3}-2n}{1-3{n}^{2}}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{n-\frac{2}{n}}{\frac{1}{{n}^{2}}-3}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }n.\frac{1-\frac{2}{{n}^{2}}}{\frac{1}{{n}^{2}}-3}$

$\{\begin{matrix}\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }n=+\infty \\ \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{1-\frac{2}{{n}^{2}}}{\frac{1}{{n}^{2}}-3}=\frac{-1}{3}<0\end{matrix}\Rightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{n}^{3}-2n}{1-3{n}^{2}}=-\infty$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{(2n-{n}^{3})(3{n}^{2}+1)}{(2n-1)({n}^{4}-7)}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{n}^{3}(\frac{2}{{n}^{2}}-1).{n}^{2}(3+\frac{1}{{n}^{2}})}{n(2-\frac{1}{n}).{n}^{4}(1-\frac{7}{{n}^{4}})}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{(\frac{2}{{n}^{2}}-1)(3+\frac{1}{{n}^{2}})}{(2-\frac{1}{n})(1-\frac{7}{{n}^{4}})}=\frac{-1.3}{2.1}=-\frac{3}{2}.$

Đáp án đúng là:C

Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{n}+1}{\sqrt[3]{n}+8}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{\sqrt[3]{n}}}{1+\frac{8}{\sqrt[3]{n}}}=\frac{1}{1}=1$ .

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\lim {u}_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2n+b}{5n+3}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{b}{n}}{5+\frac{3}{n}}=\frac{2}{5},\ \forall \ b\in ℝ$ .

Vậy $b\in ℝ$ .

Đáp án đúng là: B

+) TH1: a = 0

Với a = 0 thì ${u}_{n}=\frac{4{n}^{2}+n+2}{5}$

$\lim {u}_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{4{n}^{2}+n+2}{5}=+\infty$ (loại)

+) TH2: $a\ne 0$

Với $a\ne 0$ , ta có:

$\lim {u}_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{4{n}^{2}+n+2}{a{n}^{2}+5}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{1}{n}+\frac{2}{{n}^{2}}}{a+\frac{5}{{n}^{2}}}=\frac{4}{a}=2$.

Do đó a = 2.