10 bài tập Ứng dụng định lí Viète trong phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử có lời giải

Đáp án đúng là: D

Nếu x$_{1}$, x$_{2}$ là nghiệm của phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có thể viết:

ax$^{2}$ + bx + c = a(x – x$_{1}$)(x – x$_{2}$).

Đáp án đúng là: B

Do phương trình x$^{2}$ – 7x + 10 = 0 có hai nghiệm là 2 và 5 nên ta có:

x$^{2}$ – 7x + 10 = (x – 2)(x – 5).

Đáp án đúng là: C

Phương trình 2x$^{2}$ – 5x + 2 = 0 có a = 2, b = –5, c = 2.

Ta có $- \frac{b}{a} = \frac{5}{2} = 2 + \frac{1}{2}$ và $\frac{c}{a} = 1 = 2 \cdot \frac{1}{2}.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x$_{1}$ = 2; x$_{2}$ = $\frac{1}{2}.$

Khi đó, ta có:

$$2{x^2}--5x + 2 = 2\left( {x - 2} \right)\left( {x - \frac{1}{2}} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right).$$

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x$^{2}$ – 4x – 12 = 0 viết thành –x$^{2}$ + 4x + 12 = 0, phương trình này có a = –1, b = 4, c = 12.

Ta có $- \frac{b}{a} = 4 = - 2 + 6$ và $\frac{c}{a} = - 12 = \left( { - 2} \right) \cdot 6.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x$_{1}$ = –2; x$_{2}$ = 6.

Khi đó, ta có:

–x$^{2}$ + 4x + 12 = –(x + 2)(x – 6) = (x + 2)(6 – x).

Đáp án đúng là: B

Phương trình $\sqrt 2 {x^2} - \left( {2\sqrt 2 + 1} \right)x + 2 = 0$ có $a = \sqrt 2 ,\,\,b = - \left( {2\sqrt 2 + 1} \right),\,\,c = 2.$

Ta có $- \frac{b}{a} = \frac{{2\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 }} = 2 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ và $\frac{c}{a} = \sqrt 2 = 2 \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x$_{1}$ = 2; x$_{2}$ = $\frac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Khi đó, ta có:

$$\sqrt 2 {x^2} - \left( {2\sqrt 2 + 1} \right)x + 2 = \sqrt 2 \left( {x - 2} \right)\left( {x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt 2 x - 1} \right).$$

Đáp án đúng là: A

Phương trình x$^{2}$ – (m + 1)x + 3m = 0 có một nghiệm là x = 2 nên ta có:

2$^{2}$ – (m + 1).2 + 3m = 0 hay 4 – 2m – 2 + 3m = 0, suy ra m = –2.

Thay m = –2 vào phương trình đã cho, ta được:

x$^{2}$ + x – 6 = 0.

Ta có $- \frac{b}{a} = - 1 = - 3 + 2$ và $\frac{c}{a} = - 6 = \left( { - 3} \right) \cdot 2.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x$_{1}$ = –3; x$_{2}$ = 2.

Khi đó, ta có:

x$^{2}$ + x – 6 = (x + 3)(x – 2).

Đáp án đúng là: D

Phương trình (m – 2)x$^{2}$ – (2m + 5)x + m + 7 = 0 có a = m – 2, b = –(2m + 5), c = m + 7.

Ta có: a + b + c = m – 2 + [–(2m + 5)] + m + 7 = 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x$_{1}$ = 1; x$_{2}$ = $\frac{{m + 7}}{{m - 2}}$ (với m ≠ 2).

Khi đó, ta có:

(m – 2)x$^{2}$ – (2m + 5)x + m + 7

= (m – 2)(x – 1)(x – $\frac{{m + 7}}{{m - 2}}$)

= (x – 1)[(m – 2)x – m – 7].

Đáp án đúng là: B

Với m = –4, đa thức đã cho trở thành 7x – 7, ta có thể phân tích thành đa thức sau: 7(x – 1).

Với m ≠ –4, xét phương trình (m + 4)x$^{2}$ – (2m + 1)x + m – 3 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn x có a = m + 4, b = – (2m + 1), c = m – 3.

Ta có: a – b + c = m + 4 + [–(2m + 1)] + m – 3 = 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x$_{1}$ = –1; x$_{2}$ = $\frac{{3 - m}}{{m + 4}}$ (với m ≠ –4).

Khi đó, ta có:

(m + 4)x$^{2}$ – (2m + 1)x + m – 3

= (m + 4)(x + 1)(x – $\frac{{3 - m}}{{m + 4}}$)

= (x + 1)[(m + 4)x + m – 3).

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x$^{2}$ – 2mx + m$^{2}$ – 1 = 0 có:

∆' = (–m)$^{2}$ – 1.(m$^{2}$ – 1) = m$^{2}$ – m$^{2}$ + 1 = 1 > 0.

Do đó phương trình x$^{2}$ – 2mx + m$^{2}$ – 1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ với mọi m, nên theo định lí Viète, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right..$

Ta thấy rằng có hai số m – 1 và m + 1 thỏa mãn m – 1 + m + 1 = 2m và (m – 1).(m + 1) = m$^{2}$ – 1.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x$_{1}$ = m – 1, x$_{2}$ = m + 1.

Khi đó, ta có:

x$^{2}$ – 2mx + m$^{2}$ – 1

= [x – (m – 1)].[x – (m + 1)]

= (x – m + 1)(x – m – 1).

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình –x$^{2}$ + 3mx – 2m$^{2}$ – 3m + 9 = 0 có:

∆ = (3m)$^{2}$ – 4.(–1).(– 2m$^{2}$ – 3m + 9 ) = 9m$^{2}$ – 8m$^{2}$ – 12m + 36

= m$^{2}$ – 12m + 36 = (m – 6)$^{2}$ ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình –x$^{2}$ + 3mx – 2m$^{2}$ – 3m + 9 = 0 luôn có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ với mọi m, nên theo định lí Viète, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m\\{x_1}{x_2} = 2{m^2} + 3m - 9 = \left( {2m - 3} \right)\left( {m + 3} \right)\end{array} \right..$

Ta thấy rằng có hai số 2m – 3 và m + 3 thỏa mãn 2m – 3 + m + 3 = 3m và (2m – 3).(m + 3) = 2m$^{2}$ + 3m – 9.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x$_{1}$ = 2m – 3, x$_{2}$ = m + 3.

Khi đó, ta có:

–x$^{2}$ + 3mx – 2m$^{2}$ – 3m + 9

= –[x – (2m – 3)].[x – (m + 3)]

= –(x – 2m + 3)(x – m – 3)

= (2m – 3 – x)(x – m – 3)

= (x – 2m + 3)(m + 3 – x).

Vậy ta chọn phương án B.