10 bài tập Ứng dụng công thức nghiệm trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của đồ thị hàm số chứa tham số có lời giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x$^{2}$ và y = 3x + m$^{2}$ + 1.

Suy ra x$^{2}$ = 3x + m$^{2}$ + 1 hay x$^{2}$ – 3x – m$^{2}$ – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–3)$^{2}$ – 4.1.(–m$^{2}$ – 1) = 9 + 4m$^{2}$ + 4 = 4m$^{2}$ + 13.

Với mọi m ta luôn có m$^{2}$≥ 0, nên 4m$^{2}$ + 13 ≥ 13 > 0 hay ∆ > 0.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = 4x$^{2}$ và y = –m

Suy ra 4x$^{2}$ = –m. (*)

Để đường thẳng (d): y = –m và (P): y = 4x$^{2}$ có điểm chung thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là –m ≥ 0, hay m ≤ 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = 2x$^{2}$ và y = mx – m + 2

Suy ra 2x$^{2}$ = mx – m + 2 hay 2x$^{2}$ – mx + m – 2 = 0. (*)

Phương trình (*) có: ∆ = (–m)$^{2}$ – 4.2.(m – 2) = m$^{2}$ – 8m + 16 = (m – 4)$^{2}$.

Để đường thẳng (d) tiếp xúc parabol (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép, tức là ∆ = 0, hay (m – 4)$^{2}$ > 0, suy ra m – 4 = 0 nên m = 4.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x$^{2}$ và y = mx + n

Suy ra x$^{2}$ = mx + n hay x$^{2}$ – mx – n = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–m)$^{2}$ – 4.1.(–n) = m$^{2}$ + 4n.

Để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì phương trình (*) không có nghiệm, tức là ∆ < 0, hay m$^{2>}$

+ 4n < 0.

Vậy ta chọn phương án A.

>

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = mx$^{2}$ và y = 2x – 2

Suy ra mx$^{2}$ = 2x – 2 hay mx$^{2}$ – 2x + 2 = 0. (*)

Phương trình (*) có: ∆' = (–1)$^{2}$ – m.2 = 1 – 2m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt, tức là ∆' > 0, hay 1 – 2m > 0, nên $m < \frac{1}{2}.$

Kết hợp điều kiện m ≠ 0, ta được: $m < \frac{1}{2};\,\,m \ne 0.$

Vậy ta chọn phương án C.

>>

Đáp án đúng là: D

Thay x = 1 vào hàm số y = 2x$^{2}$, ta được: y = 2.1$^{2}$ = 2.

Như vậy, đường thẳng (d): y = (m – 1)x – 2 cắt (P): y = 2x$^{2}$ tại một điểm có tọa độ là (1; 2).

Thay x = 1, y = 2 vào hàm số y = (m – 1)x – 2, ta được:

2 = (m – 1).1 – 2

2 = m – 1 – 2

2 = m – 3

m = 5.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = –3x$^{2}$ và y = (m + 1)x + 1.

Suy ra –3x$^{2}$ = (m + 1)x + 1 hay 3x$^{2}$ + (m + 1)x + 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có ∆ = [(m + 1)]$^{2}$ – 4.3.1 = m$^{2}$ + 2m + 1 – 12 = m$^{2}$ + 2m – 11.

Để (d) tiếp xúc với (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép, tức là ∆ = 0, hay m$^{2}$ + 2m – 11 = 0.

Xét phương trình trên có ∆$_{m}$' = 1$^{2}$ – 1.(–11) = 12 > 0 nên phương trình có hai nghiệm m phân biệt.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu đều đề bài.

Đáp án đúng là: C

– Ta chứng minh phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.

+ Xét phương trình bậc hai ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ac < 0.

Xét ∆ = b$^{2}$ – 4ac.

Do ac < 0 nên – 4ac > 0>

Lại có b$^{2}$ ≥ 0 nên ∆ > 0.

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.$

Ta có: ${x_1} \cdot {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \cdot \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{\left( { - b - \sqrt \Delta } \right)\left( { - b + \sqrt \Delta } \right)}}{{2a \cdot 2a}}$

$= \frac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt \Delta } \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - \Delta }}{{4{a^2}}}$

$= \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}.$

Vì ac < 0 nên hai số a và c trái dấu nhau, do đó $\frac{c}{a} < 0.$

Suy ra tích hai nghiệm của phương trình đã cho trái dấu nhau.

Như vậy, nếu phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ac < 0 thì phương trình này có hai nghiệm trái dấu.

+ Xét phương trình bậc hai ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ trái dấu.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ = b$^{2}$ – 4ac > 0.

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.$

Ta có: ${x_1} \cdot {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \cdot \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{\left( { - b - \sqrt \Delta } \right)\left( { - b + \sqrt \Delta } \right)}}{{2a \cdot 2a}}$

$= \frac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt \Delta } \right)}^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - \Delta }}{{4{a^2}}}$

$= \frac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}.$

Vì hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ trái dấu nên $\frac{c}{a} < 0,$ suy ra hai số a và c trái dấu nhau, do đó ac < 0.

Như vậy, nếu phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu thì phương trình này có ac < 0.

Vậy, phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.

– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x$^{2}$ và y = mx + 2m – 1.

Suy ra x$^{2}$ = mx + 2m – 1 hay x$^{2}$ – mx – 2m + 1 = 0. (*)

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A, B nằm về hai phía của trục tung, tức hoành độ của hai điểm A, B trái dấu nhau, thì phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu, tức là ac < 0, hay 1.(–2m + 1) < 0, suy ra – 2m < –1, do đó $m > \frac{1}{2}.$>

>>>>>>>

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x$^{2}$ và y = –m$^{2}$ – 4m + 5.

Suy ra x$^{2}$ = –m$^{2}$ – 4m + 5. (*)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt, do đó –m$^{2}$ – 4m + 5 > 0 hay m$^{2}$ + 4m – 5 < 0.

Giải bất phương trình:

m$^{2}$ + 4m – 5 < 0

m$^{2}$ – m + 5m – 5 < 0

m(m – 1) + 5(m – 1) < 0

(m – 1)(m + 5) < 0.

Từ bất phương trình trên ta suy ra được m – 1 và m + 5 là hai số trái dấu nhau.

Mà với mọi m ta luôn có m – 1 < m + 5.

Do đó m – 1 là số âm và m + 5 là số dương.

Tức là m – 1 < 0 và m + 5 > 0>

Suy ra m < 1 và m > –5>

Hay –5 < m < 1.

Theo bài, m có giá trị nguyên nên m ∈ {–4; –3; –2; –1; 0}.

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>>>>>>>

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

$y = - \frac{1}{2}{x^2}$ và $y = mx + {m^2} - \frac{1}{2}.$

Suy ra $- \frac{1}{2}{x^2} = mx + {m^2} - \frac{1}{2}$ hay x$^{2}$ + 2mx + 2m$^{2}$ – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có ∆' = m$^{2}$ – 1.(2m$^{2}$ – 1) = m$^{2}$ – 2m$^{2}$ + 1 = 1 – m$^{2}$.

Để đường thẳng (d) có điểm chung với parabol (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là ∆' ≥ 0, hay 1 – m$^{2}$≥ 0 nên m$^{2}$ – 1 ≤ 0.

Giải bất phương trình:

m$^{2}$ – 1 ≤ 0

(m – 1)(m + 1) ≤ 0

Suy ra m – 1 ≤ 0 và m + 1 ≥ 0 (do m – 1 < m + 1)

Do đó m ≤ 1 và m ≥ –1

Hay –1 ≤ m ≤ 1.

Theo bài, m có giá trị nguyên nên m ∈ {–1; 0; 1}.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

</>