10 Bài tập Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì OA ⋅ OD = OB ⋅ OC nên $\frac{\text{AO}}{\text{CO}}=\frac{\text{BO}}{\text{DO}}$.

Xét hai tam giác AOB và COD có:

$\frac{\text{AO}}{\text{CO}}=\frac{\text{BO}}{\text{DO}}$

$\widehat{\text{O}}$: Góc chung

Suy ra ΔAOB ᔕ ΔCOD (c – g – c).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì AB // CD nên $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{CDB}}$ (so le trong).

Ta có $\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4},\frac{\text{BD}}{\text{DC}}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$.

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{\text{BD}}{\text{DC}}$.

Xét hai tam giác BDC và ABD có:

$\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{CDB}}$

$\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{\text{BD}}{\text{DC}}$

Suy ra ΔBDC ᔕ ΔABD (c – g – c).

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AE}}}} = \frac{{10}}{4} = \frac{5}{2},\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AD}}}} = \frac{{15}}{6} = \frac{5}{2}$.

Suy ra $\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AE}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AD}}}}$.

Xét hai tam giác ABC và AED có:

$\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AE}}}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AD}}}}$

$\widehat {\rm{A}}$: Góc chung

Do đó, ΔABC ᔕ ΔAED (c – g – c).

Suy ra $\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{AED}}}$, $\widehat {{\rm{BCA}}} = \widehat {{\rm{EDA}}}$.

Vậy D sai.

Đáp án đúng là: B

Vì AB ⋅ DC = AI ⋅ DI nên $\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{DC}}}}$.

Xét hai tam giác ABI và DIC có:

$\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{DI}}}} = \frac{{{\rm{AI}}}}{{{\rm{DC}}}}$

$\widehat {{\rm{BAI}}} = \widehat {{\rm{CDI}}} = 90^\circ$

Do đó, ΔABI ᔕ ΔDIC (c – g – c).

Suy ra $\widehat {{\rm{AIB}}} = \widehat {{\rm{DCI}}}$.

Mà $\widehat {{\rm{DIC}}} + \widehat {{\rm{DCI}}} = 90^\circ$ (do tam giác DIC vuông tại D)

Suy ra $\widehat {{\rm{DIC}}} + \widehat {{\rm{AIB}}} = 90^\circ$.

Suy ra $\widehat {{\rm{BIC}}} = 180^\circ - \left( {\widehat {{\rm{DIC}}} + \widehat {{\rm{AIB}}}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Vì MNPQ là hình thoi nên MN = MQ, mà $\widehat {\rm{M}} = 60^\circ$, do đó tam giác MNQ đều.

Do đó, MN = NQ = MQ = QP = PM.

Ta có NP // MF (NP // MQ) nên $\frac{{NE}}{{NM}} = \frac{{{\rm{PE}}}}{{{\rm{PF}}}}$ (định lí Thalès).

QP // ME (PQ // MN) nên $\frac{{{\rm{EP}}}}{{{\rm{FP}}}} = \frac{{{\rm{MQ}}}}{{{\rm{QF}}}}$ (định lí Thalès).

Suy ra $\frac{{NE}}{{NM}} = \frac{{{\rm{MQ}}}}{{{\rm{QF}}}}$ hay $\frac{{{\rm{NE}}}}{{{\rm{QN}}}} = \frac{{{\rm{NQ}}}}{{{\rm{QF}}}}$.

Ta có $\widehat {ENQ} + \widehat {QNM} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat {ENQ} = 180^\circ - \widehat {QNM} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (do ∆MNQ đều nên $\widehat {QNM} = 60^\circ$).

Tương tự, ta tính được $\widehat {NQF} = 120^\circ$.

Xét hai tam giác ENQ và NQF có:

$\frac{{{\rm{NE}}}}{{{\rm{QN}}}} = \frac{{{\rm{NQ}}}}{{{\rm{QF}}}}$

$\widehat {{\rm{ENQ}}} = \widehat {{\rm{NQF}}} = 120^\circ$

Suy ra ΔENQ ᔕ ΔNQF (c – g – c).

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{{{\rm{MS}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3},\frac{{{\rm{MR}}}}{{{\rm{MP}}}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}$.

Suy ra $\frac{{{\rm{MS}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{{{\rm{MR}}}}{{{\rm{MP}}}} = \frac{2}{3}$.

Xét hai tam giác MRS và MPN có:

$\widehat {\rm{M}}$: Góc chung

$\frac{{{\rm{MS}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{{{\rm{MR}}}}{{{\rm{MP}}}}$

Do đó, ΔMRS ᔕ ΔMPN (c – g – c).

Suy ra $\frac{{{\rm{RS}}}}{{{\rm{PN}}}} = \frac{{MS}}{{MN}} = \frac{2}{3}$ hay $\frac{{{\rm{RS}}}}{{{\rm{18}}}} = \frac{2}{3}$. Suy ra ${\rm{RS}} = \frac{{18 \cdot 2}}{3} = 12$ (cm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Trên tia đối của tia BA lấy điểm I sao cho BI = BC = 7 cm.

Suy ra AI = AB + BI = 9 + 7 = 16 (cm).

Ta có $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4},\frac{\text{AC}}{\text{AI}}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$.

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{AC}}{\text{AI}}$.

Xét hai tam giác ABC và ACI có:

$\widehat{\text{A}}$: Góc chung

$\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{AC}}{\text{AI}}$

Do đó, ΔABC ᔕ ΔACI (c – g – c).

Suy ra $\widehat{\text{BCA}}=\widehat{\text{I}}$.

Mà $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{I}}+\widehat{\text{BCI}}$ (góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó).

Và $\widehat{\text{I}}=\widehat{\text{BCI}}$ (tam giác BCI cân tại B).

Suy ra $\widehat{\text{ABC}}=2\widehat{\text{I}}=2\widehat{\text{BCA}}$ hay $\widehat{\text{C}}=\frac{1}{2}\widehat{\text{B}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì D là trung điểm của MN nên MD = $\frac{1}{2}$MN = 9 cm.

Ta có $\frac{\text{ME}}{\text{MN}}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3},\frac{\text{MD}}{\text{MP}}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$.

Suy ra $\frac{\text{ME}}{\text{MN}}=\frac{\text{MD}}{\text{MP}}$.

Xét hai tam giác MED và MNP có:

$\widehat{\text{M}}$: Góc chung

$\frac{\text{ME}}{\text{MN}}=\frac{\text{MD}}{\text{MP}}$

Do đó, ΔMED ᔕ ΔMNP (c – g – c).

Suy ra $\frac{\text{DE}}{\text{PN}}=\frac{\text{MD}}{\text{MP}}=\frac{1}{3}$ hay $\frac{\text{DE}}{30}=\frac{1}{3}$.

Suy ra DE = 10 (cm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{2}{3},\frac{\text{BD}}{\text{DC}}=\frac{3}{4{,}5}=\frac{2}{3}$.

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{\text{BD}}{\text{DC}}$.

Xét hai tam giác BAD và DBC có:

$\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{BDC}}$ (AB // CD, hai góc so le trong)

$\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{\text{BD}}{\text{DC}}$

Khi đó, ΔBAD ᔕ ΔDBC (c – g – c).

Suy ra $\widehat{\text{DBC}}=\widehat{BAD}=90^{\circ}$.

Do đó, DB ⊥ BC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có S$_{ABCD}$ = AH ⋅ DC = AK ⋅ BC.

Mà DC = AB (ABCD là hình bình hành).

Do đó, AH ⋅ AB = AK ⋅ BC.

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{AK}}=\frac{\text{BC}}{\text{AH}}$.

Xét hai tam giác ABC và KAH có:

$\frac{\text{AB}}{\text{AK}}=\frac{\text{BC}}{\text{AH}}$

$\widehat{\text{B}}\text{=}\widehat{\text{KAH}}$ (cùng phụ với $\widehat{\text{BAK}}$).

Suy ra ΔABC ᔕ ΔKAH (c – g – c).