10 Bài tập Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Cấp số cộng có công thức tổng quát cho số hạng thứ n là: u$_{n}$ = – 4 + (– 4).(n – 1) .

Áp dụng công thức ${S}_{n}=\frac{n[2{u}_{1}+(n-1)d]}{2}$ nên

Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

${S}_{10}=\frac{10\cdot [2\cdot (-\ 4)+(10-1)\cdot (-\ 4)]}{2}=-220$.

Đáp án đúng là: B

Từ giả thiết bài toán, ta có:

$\{\begin{matrix}{u}_{1}+4d+3({u}_{1}+2d)-({u}_{1}+d)=-21 \\ 3({u}_{1}+6d)-2({u}_{1}+3d)=-34\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3{u}_{1}+9d=-21 \\ {u}_{1}+12d=-34\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=2 \\ d=-3\end{matrix}.$

Tổng của 20 số hạng đầu: ${S}_{20}=\frac{20(2{u}_{1}+19d)}{2}=-530.$

Đáp án đúng là: B

Theo giả thiết thì u$_{2}$ + u$_{22}$ = 20

$\Leftrightarrow$ u$_{1}$ + d + u$_{1}$ + 21d = 20

$\Leftrightarrow$ 2u$_{1}$ + 22d = 20.

Vậy ${S_{23}} = \frac{{23\left( {2{u_1} + 22d} \right)}}{2} = \frac{{23.20}}{2} = 230.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${S_8} = 72 = \frac{{8\left( {{u_1} + {u_8}} \right)}}{2} \Rightarrow {{\rm{u}}_1} + {{\rm{u}}_8} = 18$ (1)

Lại có: u$_{8}$ = u$_{1}$ + 7d $\Leftrightarrow$ u$_{8}$ – u$_{1}$ = 7d = –14 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} + {u_8} = 18}\\{{u_8} - {u_1} = - 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 16\\{u_8} = 2\end{array} \right.$.

Ta có dãy số 2; 4; 6;… ; 2n − 2; 2n là cấp số cộng với công sai d = 2 và u$_{1}$ = 2.

Số hạng tổng quát: u$_{n}$= 2 + 2(n – 1) = 2n. Dãy số này có n số hạng.

$\Rightarrow {S_n} = \frac{{n \cdot \left[ {2 \cdot 2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right]}}{2} = \frac{{n\left( {2n + 2} \right)}}{2} = n\left( {n + 1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Gọi d là công sai của cấp số đã cho.

Ta có: ${S_{100}} = 50\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 24\,\,850$

$$\Rightarrow d = \frac{{497 - 2{u_1}}}{{99}} = 5$$

$$\Rightarrow 5S = \frac{5}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{5}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{5}{{{u_{49}}{u_{50}}}}$$

$$= \frac{{{u_2} - {u_1}}}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{{{u_3} - {u_2}}}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{{{u_{50}} - {u_{49}}}}{{{u_{49}}{u_{50}}}}$$

$$= \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}}} - \frac{1}{{{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{48}}}} - \frac{1}{{{u_{49}}}} + \frac{1}{{{u_{49}}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}}$$

$$= \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}} = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_1} + 49d}} = \frac{{245}}{{246}}$$

$$\Rightarrow S = \frac{{49}}{{246}}.$$

Đáp án đúng là: D

Theo giả thiết ta có : $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{S_4} = 20}\\{\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} = \frac{{25}}{{24}}}\end{array}} \right.$

$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2\left( {2{u_1} + 3d} \right) = 20 \,\, \left( 1 \right)}\\{\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} = \frac{{25}}{{24}} \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.$$

Từ (1) suy ra : $2{{\rm{u}}_1} + 3\;{\rm{d}} = 10 \Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} = 5 - \frac{3}{2}d$ thế vào (2) ta được

$\frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d}} + \frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d + d}} + \frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d + 2d}} + \frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d + 3d}} = \frac{{25}}{{24}}$$\Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d}} + \frac{1}{{5 + \frac{3}{2}d}}} \right) + \left( {\frac{1}{{5 - \frac{d}{2}}} + \frac{1}{{5 + \frac{d}{2}}}} \right) = \frac{{25}}{{24}}$

$\Leftrightarrow \frac{{10}}{{25 - \frac{{9{d^2}}}{4}}} + \frac{{10}}{{25 - \frac{{{d^2}}}{4}}} = \frac{{25}}{{24}}$ (*)

Đặt $t = \frac{{{d^2}}}{4}\,\,\left( {t \ge 0} \right)$ khi đó phương trình (*) trở thành:

$$\frac{{10}}{{25 - 9t}} + \frac{{10}}{{25 - t}} = \frac{{25}}{{24}}$$

$$\Leftrightarrow \frac{{2\left( {25 - t} \right) + 2\left( {25 - 9t} \right)}}{{\left( {25 - 9t} \right)\left( {25 - t} \right)}} = \frac{5}{{24}} \Leftrightarrow \frac{{100 - 20t}}{{\left( {25 - 9t} \right)\left( {25 - t} \right)}} = \frac{5}{{24}}$$

$$\Leftrightarrow 24\left( {20 - 4{\rm{t}}} \right) = \left( {25 - 9{\rm{t}}} \right)\left( {25 - t} \right)$$

$$\Leftrightarrow 9{{\rm{t}}^2} - 154{\rm{t}} + 145 = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{t = \frac{{145}}{9}}\\{t = 1}\end{array}} \right.$$

Với $t = \frac{{145}}{9}$ thì ${d^2} = \frac{{145}}{9} \Rightarrow d = \pm \frac{{\sqrt {145} }}{3}$.

+ Khi ${\rm{d}} = \frac{{\sqrt {145} }}{3} \Rightarrow {u_1} = 5 - \frac{{\sqrt {145} }}{2}$

+ Khi ${\rm{d}} = - \frac{{\sqrt {145} }}{3} \Rightarrow {u_1} = 5 + \frac{{\sqrt {145} }}{2}$

Với t = 1 ⇒ d$^{2}$ = 1 ⇔ d = ± 1.

+ Khi ${\rm{d}} = 1 \Rightarrow {u_1} = 5 - \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

+ Khi ${\rm{d}} = - 1 \Rightarrow {{\rm{u}}_1} = 5 + \frac{3}{2} = \frac{{13}}{2}$

Vậy ứng với 4 trường hơp sẽ có 4 giá trị của u$_{1}$ thỏa mãn.

Đáp án đúng là: A

Theo giả thiết ta có:

$${{\rm{u}}_4} + {{\rm{u}}_8} + {{\rm{u}}_{11}} + {{\rm{u}}_{17}} = 100$$

$$\Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} + 3\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 7\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 10\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 16\;{\rm{d}} = 100$$

$$\Leftrightarrow 4{{\rm{u}}_1} + 36\;{\rm{d}} = 100 \Leftrightarrow 2{{\rm{u}}_1} + 18\;{\rm{d}} = 50$$

Do đó: ${S_{19}} = \frac{{19\left( {2{u_1} + 18d} \right)}}{2} = \frac{{19.50}}{2} = 475$.

Đáp án đúng là: D

Theo giả thiết ta có:

u$_{2}$ + u$_{3}$ + u$_{7}$ + u$_{10}$ + u$_{12}$ + u$_{17}$ = 300

$\Leftrightarrow$ u$_{1}$ + d + u$_{1}$ + 2d + u$_{1}$ + 6d + u$_{1}$ + 9d + u$_{1}$ +11d+ u$_{1}$ + 16d = 300

$\Leftrightarrow$ 6u$_{1}$ + 45d = 300 ⇔ 2u$_{1}$ + 15d = 100

Do đó: ${{\rm{u}}_9} + {{\rm{u}}_8} = {{\rm{u}}_1} + 8\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 7\;{\rm{d}} = 2{{\rm{u}}_1} + 15\;{\rm{d}} = 100.$

Đáp án đúng là: B

Theo giả thiết ta có:

$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_5} = 10}\\{{S_{10}} = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} + 4d = 10}\\{\frac{{10.\left( {2{u_1} + 9d} \right)}}{2} = 5}\end{array}} \right.} \right.$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} u_1+4d=10\\ 2u_1+9d=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1=86\\ d=-19 \end{cases}$$

Do đó, tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng là: 86 + (−19) = 67.