10 bài tập Tính số đo góc, chứng minh hai góc bằng nhau có lời giải

Đáp án đúng là: D

Vì AC bằng cạnh của hình vuông nội tiếp (O) nên sđ = 90°.

BC bằng cạnh của tam giác đều nội tiếp nên sđ = 120°.

Do đó, sđ = 120° − 90° = 30°.

Có $\widehat {ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung AB nên .

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$\widehat {ACM} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét ∆ABH và ∆AMC, có:

$\widehat {ABH} = \widehat {AMC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

$$\widehat {ACM} = \widehat {AHB} = 90^\circ$$

Do đó, ∆ABH ᔕ ∆AMC (g.g)

Suy ra $\widehat {BAH} = \widehat {MAC}$ hay $\widehat {BAH} = \widehat {OAC}$.

Đáp án đúng là: C

Xét ∆AOC, có OA = OC = AC = 4 cm.

Suy ra tam giác AOC đều nên $\widehat {OCA} = 60^\circ$.

Ta có: $\widehat {OCA} = \widehat {BDA} = 60^\circ$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Xét ∆ABC vuông tại A, có: $\widehat {ACB} + \widehat {ABC} = 90^\circ$ (hai góc phụ nhau)

Do đó, $\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ .$

Lại có, $\widehat {ADC} = \widehat {ABC} = 30^\circ$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Vậy $\widehat {CDA} = 30^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Xét ∆ACD có AC = CD nên ∆ACD cân tại C.

Do đó, $\widehat {DAC} = \widehat {CDA} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACD}}}{2} = \frac{{180^\circ - 28^\circ }}{2} = 76^\circ$.

Mà $\widehat {CDB} + \widehat {BDA} = \widehat {ADC}$.

$$\widehat {CDB} + 26^\circ = 76^\circ$$

$\widehat {CDB} = 76^\circ - 26^\circ = 50^\circ$.

Mà $\widehat {CDB} = \widehat {BAC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BC).

Do đó, $\widehat {BAC} = 50^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\widehat {AMC}$ là góc nội tiếp chắn cung AC, $\widehat {BMD}$ là góc nội tiếp chắn cung BD.

Mà AB // CD nên . Do đó, $\widehat {AMC} = \widehat {BMD}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\widehat {ABC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Có BD ⊥ AC với AC là đường kính đường tròn (O) nên AC là đường trung trực của BD.

Do đó, $\widehat {ACB} = \widehat {ACD} = 70^\circ$.

Suy ra $\widehat {CDB} = 90^\circ - \widehat {ACD} = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: và

Mặt khác DE // BF nên $\widehat {EDF} = \widehat {BFD}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat {EDF}$ là góc nội tiếp chắn cung ; $\widehat {DFB}$ là góc nội tiếp chắn cung .

Do đó, .

Ta lại có .

Từ đó suy ra .

Ta có: $\widehat {BDC} = \widehat {BFC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

$\widehat {DBF} = \widehat {DCF}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung DF)

Do đó, đáp án D sai.

Đáp án đúng là: C

Vì B nằm chính giữa cung DF nên $sd\overset{\frown}{DF}=sd\overset{\frown}{BF}$

Mặt khác góc tại E và I là hai góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn nên

$\widehat{E}=\frac{1}{2}(sd\overset{\frown}{BD}+sd\overset{\frown}{AC})=\frac{1}{2}(sd\overset{\frown}{BF}-sd\overset{\frown}{AC})=\widehat{I}$

Theo đề bài, ta có: $\widehat E = \widehat I = 25^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\widehat {MOA}$ là góc ở tâm chắn cung MA, $\widehat {MBA}$ là góc nội tiếp chắn cung MA.

Do đó, $\widehat {MOA} = 2\widehat {MBA}.$

Vì EF là tiếp tuyến với (O) tại M nên OM ⊥ EF.

Ta có: $\widehat {MOA} = \widehat {EFO}$ (cùng phụ với $\widehat {FEO}$.

Suy ra $\widehat {EFO} = 2\widehat {MBA}$ hay $\widehat {MFO} = 2\widehat {MBO}.$

Đáp án đúng là: C

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.

Diện tích tam giác ABC là S$_{∆ABC}$ = $\frac{1}{2}BC.AH$.

Vì BC là đường kính nên BC cố định.

Suy ra diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất khi AH lớn nhất.

Xét tam giác AHO vuông tại H, có AH ≤ AO (AO là cạnh huyền)

Suy ra S$_{∆ABC}$ = $\frac{1}{2}BC.AH$ ≤ $\frac{1}{2}BC.AO = \frac{1}{2}2R.R = {R^2}$.

Dấu “=” xảy ra khi H ≡ O. Khi đó A là điểm chính giữa cung BC hay AD ⊥ BC.

Xét tam giác ACD có: $\widehat {ACD} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có CO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.

Do đó, ∆ACD vuông cân tại C nên $\widehat {CAD} = \widehat {CDA} = 45^\circ$.

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi A nằm chính giữa cung BC và $\widehat {CDA} = 45^\circ$.