10 bài tập Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào định lí Viète có lời giải

Đáp án đúng là: D

Nếu phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x$_{1}$ = –1, nghiệm kia là ${x_2} = - \frac{c}{a}.$

Đáp án đúng là: A

Nếu phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x$_{1}$ = 1, nghiệm kia là ${x_2} = \frac{c}{a}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình $\left( {\sqrt 3 - 2} \right){x^2} + 2x - \sqrt 3 = 0$ có $a = \sqrt 3 - 2,\,\,b = 2,\,\,c = - \sqrt 3 .$

Ta có $a + b + c = \sqrt 3 - 2 + 2 + \left( { - \sqrt 3 } \right) = 0.$

Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x$_{1}$ = 1, nghiệm kia là

$${x_2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 2}} = - \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}} = - \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{3 - 4}} = \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right).$$

Đáp án đúng là: C

Phương trình x$^{2}$ – 5x + 6 = 0 có a = 1, b = –5, c = 6.

Ta có: $- \frac{b}{a} = 5 = 2 + 3$ và $\frac{c}{a} = 6 = 2 \cdot 3$ nên phương trình có hai nghiệm là x$_{1}$ = 2; x$_{2}$ = 3.

Đáp án đúng là: D

Phương trình 2x$^{2}$ – (m – 1)x + m – 3 = 0 có a = 2, b = – (m – 1), c = m – 3.

Ta có a + b + c = 2 – (m – 1) + m – 3 = 0.

Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x$_{1}$ = 1 và nghiệm kia là ${x_2} = \frac{{m - 3}}{2}.$

Đáp án đúng là: D

Phương trình mx$^{2}$ + (2m + 1)x + m + 1 = 0 (m ≠ 0) có a = m, b = 2m + 1, c = m + 1.

Ta có: a – b + c = m – (2m + 1) + m + 1 = 0.

Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x$_{1}$ = –1 và nghiệm kia là ${x_2} = - \frac{{m + 1}}{m}.$

Đáp án đúng là: C

Do phương trình x$^{2}$ – (m + 4)x + 3m + 3 = 0 có hai nghiệm với mọi m nên theo hệ thức Viète, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 4\\{x_1}{x_2} = 3m + 3\end{array} \right.$

Ta thấy rằng có hai số m + 1 và 3 thỏa mãn m + 1 + 3 = m + 4 và (m + 1).3 = 3m + 3.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x$_{1}$ = 3, x$_{2}$ = m + 1.

Đáp án đúng là: A

Phương trình x$^{2}$ – 6x + m$^{2}$ – 4m = 0 có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ nên theo định lí Viète, ta có:

x$_{1}$ + x$_{2}$ = 6.

Mà x$_{1}$ = 1 nên x$_{2}$ = 6 – 1 = 5.

Đáp án đúng là: D

Phương trình (m – 2)x$^{2}$ – (2m + 5)x + m + 7 = 0 có a = m – 2, b = –(2m + 5), c = m + 7.

Ta có: a + b + c = m – 2 + [–(2m + 5)] + m + 7 = 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x$_{1}$ = 1; x$_{2}$ = $\frac{{m + 7}}{{m - 2}}$ (với m ≠ 2).

Để phương trình đã cho có các nghiệm đều là số nguyên thì $\frac{{m + 7}}{{m - 2}}$ phải là số nguyên.

Ta có: $\frac{{m + 7}}{{m - 2}} = 1 + \frac{9}{{m - 2}}.$

Với m là số nguyên khác 2, để $\frac{{m + 7}}{{m - 2}}$ là số nguyên thì $\frac{9}{{m - 2}},$ tức là 9 ⋮ (m – 2), hay m – 2 ∈ Ư(9) = {1; –1; 3; –3; 9; –9}.

Suy ra m ∈ {3; 1; 5; –1; 11; –7} (thỏa mãn).

Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: C

Do phương trình x$^{2}$ – (2m + 1)x + m$^{2}$ + m = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ với mọi m, nên theo định lí Viète, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} + m\end{array} \right..$

Cách 1. Ta thấy rằng có hai số m và m + 1 thỏa mãn m + m + 1 = 2m + 1 và m.(m + 1) = m$^{2}$ + m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x$_{1}$ = m, x$_{2}$ = m + 1.

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình theo m là:

$x_1^2 + x_2^2 = {m^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 2{m^2} + 2m + 1.$

***Cách 2. Ta có:* **

$x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$

$= {\left( {2m + 1} \right)^2} - 2 \cdot \left( {{m^2} + m} \right)$

$= 4{m^2} + 4m + 1 - 2{m^2} - 2m = 2{m^2} + 2m + 1.$