10 Bài tập Tính giá trị của biểu thức liên quan đến các giá trị lượng giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thay x = 30° vào biểu thức A ta có:

A = sin (2.30°) – 3cos 30° = sin 60° – 3cos 30° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ – 3.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = – $\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: α + β = π ⇒ α = π – β.

Do đó A = sin$^{2}$ (π – β) + cos$^{2}$ (π – α) = (sin α)$^{2}$ + (– cos α)$^{2}$ = sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x = 1 ⇒ cos$^{2}$x = 1 – sin$^{2}$x = $1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$.

Do đó A = $\frac{4}{3}$.$\frac{1}{16}$ + $\frac{15}{16}$ = $\frac{49}{48}$.

Như vậy a = 49, b = 48 ⇒ a – b = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: 1 + tan$^{2}$ α = $\frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}$ ⇒ cos$^{2}$ α = $\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}$ = $\frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{1}{4}$.

Mà sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1 ⇒ ${\sin ^2}\alpha = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Do đó P = 2.$\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{7}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x = 1 ⇒ cos$^{2}$x = 1 – sin$^{2}$x.

⇒ cos x = $\pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Vì cos x nhận giá trị âm nên cos x = $- \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Do đó A = $\frac{{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }} = - 2 - \sqrt 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1 ⇒ cos$^{2}$ α = 1 – sin$^{2}$ α.

⇒ cos α = $\pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}.$

Mà 90° < α < 180° nên cos α < 0 ⇒ cos α = $- \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

Do đó 4sin$^{2}$ α + 2cos$^{2}$ α = $4.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 2.{\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)^2} = \frac{{26}}{9};$

4sin α + 2cos α = $4.\frac{2}{3} + 2.\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = \frac{{8 - 2\sqrt 5 }}{3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tan x = 3 nên cos x ≠ 0. Chia cả tử và mẫu biểu thức A cho cos x ta có:

A = $\frac{4.\frac{\sin x}{\text{cos x}}+1}{\frac{\sin x}{\text{cos x}}+2}$ = $\frac{4\tan x+1}{\tan x+2}$ = $\frac{4.3+1}{3+2}$ = $\frac{13}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì cot x = 2 ⇒ sin x ≠ 0. Chia cả tử và mẫu biểu thức P cho sin x ta có:

$P=\frac{3.\frac{\text{cos x}}{\sin x}-1}{\frac{\text{cos x}}{\sin x}+1}$ = $\frac{3\cot x-1}{\cot x+1}=\frac{3.2-1}{2+1}=\frac{5}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1 ⇒ sin$^{2}$α = 1 – cos$^{2}$α.

⇒ sin α = $\pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Mà 90° < α < 180° nên sin α > 0 ⇒ sin α = $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có tan α = $\frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos }}\alpha }} = - \sqrt 3$ ⇒ cot α = $\frac{1}{{\tan \alpha }} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Suy ra C = $\frac{{2{{\tan }^2}\alpha + {{\cot }^2}\alpha }}{{4{{\tan }^2}\alpha - 3{{\cot }^2}\alpha }}$ = $\frac{{2.{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}{{4.{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} - 3{{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} = \frac{{19}}{{33}}$.

Như vậy a = 19; b = 33 ⇒ a + b = 52.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do tan x = 2 nên cos x ≠ 0 nên cos$^{3}$ x ≠ 0.

Chia cả tử và mẫu biểu thức M cho cos$^{3}$ x ta có:

M = $\frac{\frac{\sin x}{{\text{cos}}^{3}x}-3}{5.\frac{{\sin }^{3}x}{{\text{cos}}^{3}x}-\frac{2}{{\text{cos}}^{2}x}}=\frac{\frac{\sin x}{\text{cos x}}.\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}-3}{5.{\tan }^{3}x-2.\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}}$ $=\frac{\tan x(1+{\tan }^{2}x)-3}{5{\tan }^{3}x-2(1+{\tan }^{2}x)}$

$=\frac{2(1+{2}^{2})-3}{{5.2}^{3}-2(1+{2}^{2})}=\frac{7}{30}.$

Như vậy, a = 7; b = 30 ⇒ b – a = 23.