10 Bài tập Tính độ dài cạnh trong tam giác vuông bằng cách sử dụng định lí Pythagore (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác DEF vuông tại D, áp dụng định lí Pythagore ta có:

${\text{EF}}^{2}=D{E}^{2}+D{F}^{2}$

$\Rightarrow {\text{EF}}^{2}={5}^{2}+{12}^{2}=169$

$\Rightarrow EF=13\ cm$

Vậy EF = 13 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$A{B}^{2}+A{C}^{2}=B{C}^{2}$

$\Rightarrow A{B}^{2}+A{C}^{2}={20}^{2}=400$

Theo đề bài, ta có: $\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}\Rightarrow \frac{AB}{4}=\frac{AC}{3}\Rightarrow \frac{A{B}^{2}}{16}=\frac{A{C}^{2}}{9}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{A{B}^{2}}{16}=\frac{A{C}^{2}}{9}=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}}{16+9}=\frac{400}{25}=16$

$\Rightarrow \{\begin{matrix}\frac{A{B}^{2}}{16}=16 \\ \frac{A{C}^{2}}{9}=16\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}A{B}^{2}=256 \\ A{C}^{2}=144\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}AB=16\ cm \\ AC=12\ cm\end{matrix}$

Vậy AB = 16 cm; AC = 12 cm.

Đáp án đúng là: B

*) Xét tam giác MPQ vuông tại P, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$$M{Q^2} = Q{P^2} + M{P^2}$$

$$\Rightarrow Q{P^2} = M{Q^2} - M{P^2} = {25^2} - {7^2} = 576$$

$$\Rightarrow QP = 24\,\,cm$$

*) Xét tam giác PQN vuông tại P, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$$N{Q^2} = Q{P^2} + P{N^2}$$

$$\Rightarrow P{N^2} = N{Q^2} - Q{P^2} = {30^2} - {24^2} = 324$$

$$\Rightarrow PN = 18\,\,cm$$

Ta có: MN = MP + PN = 7 cm + 18 cm = 25 cm

Vậy MN = 25 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác OMN vuông tại O, áp dụng định lí Pytagore ta có:

$M{N}^{2}=M{O}^{2}+O{N}^{2}$

$\Rightarrow O{N}^{2}=M{N}^{2}-M{O}^{2}={13}^{2}-{5}^{2}=144$

$\Rightarrow ON=12\ cm$

${S}_{OMN}=\frac{1}{2}\cdot OM\cdot ON=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30\ (c{m}^{2})$

Vậy diện tích tam giác OMN là 30 cm$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

*) Xét tam giác AHC vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$A{C}^{2}=A{H}^{2}+H{C}^{2}$

$\Rightarrow H{C}^{2}=A{C}^{2}-A{H}^{2}={20}^{2}-{12}^{2}=256$

$\Rightarrow HC=16\ cm$

*) BC = BH + HC = 5 cm + 16 cm = 21 cm

*) Xét tam giác ABH vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$A{B}^{2}=A{H}^{2}+H{B}^{2}={12}^{2}+{5}^{2}=169$

$\Rightarrow AB=13\ cm$

Chu vi tam giác ABC là: 13 + 21 + 20 = 54 (cm)

Vậy chu vi tam giác ABC là 54 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Giả sử, ta có hình chữ nhật ABCD, với BC = 8 cm và BD = 17 cm.

Xét tam giác BDC vuông tại C, ta có:

$B{D}^{2}=B{C}^{2}+D{C}^{2}$

$\Rightarrow D{C}^{2}=B{D}^{2}-B{C}^{2}={17}^{2}-{8}^{2}=225$

$\Rightarrow DC=15\ cm$

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: $15\cdot 8=120\ (c{m}^{2})$

Vậy diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 8 cm và đường chéo dài 17 cm là 120 cm$^{2}$.

Đáp án đúng là: C

*) Xét tam giác ADE vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$$D{E^2} = A{D^2} + A{E^2}$$

$$\Rightarrow A{E^2} = D{E^2} - A{D^2} = {5^2} - {3^2} = 16$$

$$\Rightarrow AE = 4$$

*) AB = AE + EB = 4 + 4 = 8.

*) Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {6^2} = 100$$

$$\Rightarrow BC = 10$$

$$\Rightarrow a = 10$$

Vậy a = 10.

Đáp án đúng là: A

Kẻ $CH \bot AB\,\,\,\left( {H \in AB} \right)$.

Xét tứ giác ADCH có:

$$\widehat {DAC} = \widehat {ADC} = \widehat {AHC} = 90^\circ$$

Suy ra, tứ giác ADCH là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CH = AD = 4\,\,cm\\AH = DC = 7\,\,cm\end{array} \right.$$

Vì AB = AH + HB nên HB = 10 cm – 7 cm = 3 cm.

Xét tam giác CBH vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$$B{C^2} = H{C^2} + H{B^2} = {4^2} + {3^2} = 25$$

$$\Rightarrow BC = 5\,\,cm$$

Chu vi hình thang ABCD là:

AB + BC + CD + DA = 10 cm + 5 cm + 7 cm + 4 cm = 26 cm

Vậy chu vi hình thang ABCD là 26 cm.

Đáp án đúng là: B

*) Xét tam giác ADB vuông tại D, áp dụng định Pythagore ta có:

$$A{B^2} = A{D^2} + B{D^2}$$

$$\Rightarrow A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {13^2} - {5^2} = 144$$

$$\Rightarrow AD = 12\,\,cm$$

*) Xét tam giác ADC vuông tại D, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$$A{C^2} = A{D^2} + D{C^2}$$

$$\Rightarrow D{C^2} = A{C^2} - A{D^2} = {15^2} - {12^2} = 81$$

$$\Rightarrow DC = 9\,\,cm$$

Vậy CD = 9 cm.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$$A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100$$

$$B{C^2} = 100$$

$$\Rightarrow B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A.

Đặt BH = a (cm, a > 0); CH = 10 – a (cm)

*) Xét tam giác AHB vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$$A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}$$

$\Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {6^2} - {a^2} = 36 - {a^2}$ (1)

*) Xét tam giác AHC vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$$A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}$$

$\Rightarrow A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = {8^2} - {\left( {10 - a} \right)^2} = 64 - {\left( {10 - a} \right)^2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$$36 - {a^2} = 64 - {\left( {10 - a} \right)^2}$$

$$36 - {a^2} = 64 - (100 - 20a + {a^2})$$

$$36 - {a^2} = 64 - 100 + 20a - {a^2}$$

$$- {a^2} + {a^2} - 20a = - 100 - 36 + 64$$

$$- 20a = - 72$$

$$a = 3{,}6\,\,(tm)$$

Suy ra BH = 3,6 cm.

Khi đó, $A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {6^2} - 3,{6^2} = 23{,}04$

$$\Rightarrow AH = 4{,}8\,\,cm$$

Vậy AH = 4,8 cm.