10 bài tập Tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu có lời giải

Đáp án đúng là: A

Bán kính mặt cầu là: 6 : 2 = 3 (cm).

Diện tích mặt cầu là: S = 4πr$^{2}$ = 4.π.3$^{2}$ = 36π (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có: V = 288π (cm$^{3}$) nên $\frac{4}{3}$πR$^{3}$ = 288π hay R$^{3}$ = 216, do đó R = 6 (cm).

Đáp án đúng là: D

Bán kính quả bóng nhựa đó là: 10 : 2 = 5 (cm).

Thể tích khối cầu đó là: V = $\frac{4}{3}$πR$^{3}$ = $\frac{{500\pi }}{3}$ (cm$^{3}$)

Đáp án đúng là: A

Bán kính của quả bóng rổ đó là: 24 : 2 = 12 (cm)

Thể tích của quả bóng rổ đó là: $\frac{4}{3}$π.12$^{3}$ ≈ 7238 cm$^{3}$.

Đáp án đúng là: C

Vì ABC là tam gúa đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác.

Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp R = OH = $\frac{{AH}}{3}.$

Xét tam giác ABH có: AH$^{2}$ = AB$^{2}$ – BH$^{2}$ = a$^{2}$ – ${\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}$.

Suy ra R = $\frac{{a\sqrt 3 }}{6}.$

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán kính R = $\frac{{a\sqrt 3 }}{6}.$

Do đó, V = $\frac{4}{3}$π. ${\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{54}}$.

Đáp án đúng là: D

Vì ∆ABC là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác.

Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp là R = OH = $\frac{{AH}}{3}$.

Xét tam giác vuông AH$^{2}$ = AB$^{2}$ – BH$^{2}$ = 12$^{2}$ – ${\left( {\frac{{12}}{2}} \right)^2}$ = 108, suy ra AH = $6\sqrt 3$ cm.

Suy ra R = $\frac{{AH}}{3} = 2\sqrt 3$ cm.

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán kính R = $2\sqrt 3$ suy ra V = = $\frac{4}{3}$π. ${\left( {2\sqrt 3 } \right)^3} = 32\pi \sqrt 3$ (cm$^{3}$).

Đáp án đúng là: D

Vì tam giác ABC vuông tại A nên có đường tròn ngoại tiếp đường kính BC.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R = $\frac{{BC}}{2}$.

Theo định lí Pythagore, ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = 2.6$^{2}$ nên BC = $6\sqrt 2$ cm.

Suy ra R = $\frac{{6\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2$ cm.

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC ta được hình cầu có bán kính R = $3\sqrt 2$ nên diện tích mặt cầu là:

S = 4πR$^{2}$ = 4π.${\left( {3\sqrt 2 } \right)^2}$ = 72π (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

Gọi O là tâm của hình chữ nhật, do đó ta có OA = OB = OC = OD.

Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

Khi đó, bán kính đường tròn là R = OA = $\frac{{AC}}{2}$.

Ta có, DC = AB = 6 cm.

Theo định lý Pythagore vào tam giác ADC, ta có:

AC$^{2}$ = AD$^{2}$ + DC$^{2}$ = 6$^{2}$ + 8$^{2}$ = 100 nên AC = 10 cm.

Do đó, bán kính đường tròn R = 5 cm.

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC ta được một hình cầu tâm O bán kính R = 5 cm.

Diện tích mặt cầu là: S = 4πR$^{2}$ = 4π.5$^{2}$ = 100π (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: A

Diện tích một mặt của hình lập phương đó là: 24 : 6 = 4 (cm$^{2}$).

Suy ra độ dài cạnh của hình lập phương đó là: $\sqrt 4 = 2$ (cm).

Nhận thấy cạnh của hình lập phương có độ dài bằng đường kính của mặt cầu.

Suy ra bán kính của mặt cầu là: 2 : 2 = 1 (cm).

Diện tích của mặt cầu là 4π.1$^{2}$ = 4π (cm$^{2}$).