10 Bài tập Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng) (Có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$= 3.

Ta có ∆y = f(3 + ∆x) – f(3)

= 3(3 + ∆x)$^{2}$ + 2(3 + ∆x) – 1 – (3 ∙ 3$^{2}$ + 2 ∙ 3 – 1)

= 27 + 18∆x + 3(∆x)$^{2}$ + 6 + 2∆x – 33

= 3(∆x)$^{2}$ + 20∆x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$= 1.

Ta có ∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = $\frac{{(1+Δ\text{x})}^{3}-1}{(\text{1 +}Δ\text{x})+2}-0=\frac{{(Δx)}^{3}+3Δx+3{(Δx)}^{2}}{3+Δ\text{x}}$.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{{(Δ\text{x})}^{2}+3+3Δ\text{x}}{Δ\text{x}+3}$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\rightarrow 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{Δ\text{x}\rightarrow 0}{\lim }\frac{{(Δ\text{x})}^{2}+3+3Δ\text{x}}{Δ\text{x}+3}=1$.

Vậy f*'*(1) = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$= 3.

Ta có ∆y = f(3 + ∆x) – f(3) = $\sqrt{3+Δ\text{x}-2}-1=\sqrt{1+Δ\text{x}}-1$.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{\sqrt{1+Δ\text{x}}-1}{Δ\text{x}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$= $\frac{\text{π}}{\text{2}}$.

Ta có ∆y = f($\frac{\text{π}}{\text{2}}$+ ∆x) – f($\frac{\text{π}}{\text{2}}$) = sin ($\frac{\text{π}}{\text{2}}$+ ∆x) – 1 = cos (∆x) – 1.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{\cos (Δ\text{x})-1}{\text{Δx}}$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\rightarrow 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{Δ\text{x}\rightarrow 0}{\lim }\frac{\cos (Δ\text{x})-1}{\text{Δx}}=0$.

Vậy f*'*($\frac{\text{π}}{\text{2}}$) = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$= 3.

Ta có ∆y = f(3 + ∆x) – f(3) = $\sqrt{3+\text{Δx}}-\sqrt{3}$.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{\sqrt{3+Δ\text{x}}-\sqrt{3}}{\text{Δx}}=\frac{Δ\text{x}}{\text{Δx}(\sqrt{3+Δ\text{x}}+\sqrt{3})}=\frac{1}{\sqrt{3+Δ\text{x}}+\sqrt{3}}$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\rightarrow 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{Δ\text{x}\rightarrow 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{3+Δ\text{x}}+\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$.

Vậy f*'*(3) = $\frac{1}{2\sqrt{3}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$= 2.

Ta có ∆y = f(2 + ∆x) – f(2) = (2 + ∆x)$^{4}$ – 5 – 11 = (∆x)$^{4}$ + 8(∆x)$^{3}$ + 24(∆x)$^{2}$ + 32∆x.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{{(\text{Δx})}^{4}+8{(\text{Δx})}^{3}+24{(\text{Δx})}^{2}+32\text{Δx}}{\text{Δx}}={(\text{Δx})}^{3}+8{(\text{Δx})}^{2}+24\text{Δx}+32$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\rightarrow 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{Δ\text{x}\rightarrow 0}{\lim }{(\text{Δx})}^{3}+8{(\text{Δx})}^{2}+24\text{Δx}+32=32$.

Vậy f*'*(2) = 32.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$= 10.

Ta có ∆y = f(10 + ∆x) – f(10) = $\sqrt{\text{Δx + 9}}-3$.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{\sqrt{Δ\text{x + 9}}-3}{\text{Δx}}=\frac{Δ\text{x}}{\text{Δx}(\sqrt{Δ\text{x + 9}}+3)}=\frac{1}{\sqrt{Δ\text{x + 9}}+3}$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\rightarrow 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{Δ\text{x}\rightarrow 0}{\lim }=\frac{1}{\sqrt{Δ\text{x + 9}}+3}=\frac{1}{6}$.

Vậy f*'*(10) = .