10 Bài tập Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Trong các đáp án chỉ có hàm số y = tan2x có tập giá trị là ℝ, các hàm số còn lại đều có tập giá trị là [– 1; 1].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ cosx ≤ 1 $\Leftrightarrow$ –2 ≤ 2cosx ≤ 2.

Vậy $\underset{ℝ}{\max }y=2$đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ.

$\underset{ℝ}{\min }y=-2$ đạt được khi cosx = –1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ ℤ.

Do đó, tập giá trị của hàm số y = 2cosx là T = [–2; 2].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Quan sát đồ thị hàm số y = cos x, ta thấy các mệnh đề i), ii) và iv) đúng.

Trên $[0;\frac{3π}{4}]$, hàm số y = cosx có tập giá trị là $[-\frac{\sqrt{2}}{2};1]$. Vậy iii) sai.

Do đó, có 3 phát biểu đúng.

Đáp án đúng là: D

∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ 0 ≤ sinx + 1 ≤ 2 $\Leftrightarrow 0 \le \sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1} \le \sqrt 2$

$\Leftrightarrow - 3 \le \sqrt {\sin x + 1} - 3 \le \sqrt 2 - 3$.

Suy ra: $\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = \sqrt 2 - 3$ đạt được khi sinx = 1 $\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

$\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = - 3$ đạt được khi sinx = –1 $\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy $M = \sqrt 2 - 3,m = - 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

∀x ∈ ℝ ta có: 0 ≤ cos$^{2}$2x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 4cos$^{2}$2x ≤ 4 ⇔ 3 ≤ 4cos$^{2}$2x + 3 ≤ 7 ⇔ 3 ≤ y ≤ 7.

Suy ra: $\underset{ℝ}{\max }y=7$ đạt được khi cos$^{2}$2x = 1 $\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow x=\frac{kπ}{2},k\in ℤ$.

$\underset{ℝ}{\min }y=3$ đạt được khi cos2x = 0 $\Leftrightarrow x=\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2},k\in ℤ$.

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là T = [3; 7].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\forall x\in [0;\frac{π}{3}]$ ta có: $\frac{1}{2}\le \cos x\le 1\Leftrightarrow$ 1 ≤ 2cosx ≤ 2 ⇔ 4 ≤ 2cosx + 3 ≤ 5.

Suy ra: $\underset{[0;\frac{π}{3}]}{\max }y=5$ đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = 0.

$\underset{[0;\frac{π}{3}]}{\min }y=4$ đạt được khi $\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{π}{3}$.

Vậy M = 5, m = 4, do đó, M ∙ m = 20.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số y = sinx, ta thấy các mệnh đề i), iii) đúng.

Trên $(0;\frac{π}{2}]$, hàm số y = sinx có tập giá trị là (0; 1]. Vậy ii) Sai.

Trên $[0;\frac{π}{2})$, hàm số y = sinx có tập giá trị là [0; 1). Vậy iv) sai.

Do đó, có 2 phát biểu đúng.

Đáp án đúng là: D

Bài giải sai từ bước 3 vì không tồn tại x ∈ ℝ thỏa mãn sinx + cosx = 2, sinx + cosx = –2 do các hệ $\left\{ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = 1\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}\sin x = - 1\\\cos x = - 1\end{array} \right.$ vô nghiệm.

Lời giải đúng:

Ta có: $y = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$.

∀x ∈ ℝ: $- 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = \sqrt 2$ đạt được khi $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

$\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = - \sqrt 2$đạt được khi $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ –5 ≤ –5sinx ≤ 5 ⇔ –2 ≤ 3 – 5sinx ≤ 8.

Suy ra: 0 ≤ (3 – 5sinx)$^{2022}$ ≤ 8$^{2022}$.

Do đó: M = 8$^{2022}$, m = 0.

Vậy M + m = 8$^{2022}$ = (2$^{3}$)$^{2022}$ = 2$^{6066}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: y = 5 + 4sin2xcos2x = 5 + 2sin4x.

Mà ∀x ∈ ℝ: –1 ≤ sin4x ≤ 1 ⇔ –2 ≤ 2sin4x ≤ 2 ⇔ 3 ≤ 5 + 2sin4x ≤ 7.

Vậy 3 ≤ y ≤ 7, mà y ∈ ℤ, do đó y ∈ {3; 4; 5; 6; 7}.

Vậy y có 5 giá trị nguyên.