10 bài tập Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức có lời giải

Đáp án đúng là: A

A. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1 = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x - 1} \right) = 1\end{array} \right.$ và f(1) = 1.

B. Do đó hàm số đã cho liên tục tại x = 1.

$I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2x - 1} \right)dx} + \int\limits_1^2 {1dx}$

$= \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \left. x \right|_1^2 = - 2 + 1 = - 1$.

Đáp án đúng là: B

$I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 1}^0 {{e^{2x}}dx} + \int\limits_0^2 {\left( {x + 1} \right)dx}$

$= \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^2$$= \frac{9}{2} - \frac{1}{{2{e^2}}} = \frac{{9{e^2} - 1}}{{2{e^2}}}$.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^1 {3{x^2}dx} + \int\limits_1^2 {\left( {4 - x} \right)dx}$$= \left. {{x^3}} \right|_0^1 + \left. {\left( {4x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{7}{2}$.

Đáp án đúng là: B

$\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {x + 2} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^3 {{x^2}dx} = 0 + \frac{{28}}{3} = \frac{{28}}{3}$.

Đáp án đúng là: D

$\int\limits_{ - 1}^\pi {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {2{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_0^\pi {\sin xdx}$$= \frac{7}{6} + 2 = \frac{{19}}{6}$.

Đáp án đúng là: A

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {3{x^2} + b} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + a} \right) = f\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow 3 + b = 2 + a$$\Leftrightarrow a - b = 1$ (1).

$\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 13$$\Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + b} \right)dx + } \int\limits_1^2 {\left( {2x + a} \right)dx} = 13$

$\Leftrightarrow \left. {\left( {{x^3} + bx} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} + ax} \right)} \right|_1^2 = 13$$\Leftrightarrow \left( {1 + b} \right) + 3 + a = 13$$\Leftrightarrow a + b = 9$ (2).

Từ (1) và (2), ta có a = 5; b = 4.

Do đó T = 5 + 4 – 5.4 = −11.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^1 {\frac{2}{{x + 1}}dx} + \int\limits_1^3 {\left( {2x - 1} \right)dx}$

$= \left. {2\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_1^3$$= 2\ln 2 + 6$ = 6 + ln4.

Đáp án đúng là: D

$\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \frac{{13}}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Vì hàm số F(x) liên tục tại x = 1

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)$$\Rightarrow {1^2} + 5.1 + {C_1} = {1^3} + 4.1 + {C_2}$ C$_{1}$ – C$_{2}$ = −1.

Ta có $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)$

(2$^{2}$ + 5.2 + C$_{1}$) – (0$^{3}$ + 4.0 + C$_{2}$) = 14 + C$_{1}$ – C$_{2}$ = 14 – 1 = 13.

Đáp án đúng là: D

Ta có $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + {C_1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}\;\;\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.$.

Vì F(2) = 4 C$_{1}$ = 2. Do đó $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.$.

Vì hàm số liên tục trên ℝ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)$

$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3x - {x^2} + 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}} \right)$ C$_{2}$ = 6.

Do đó $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + 6\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.$.

Vậy F(−2) – 4F(3) = 10 – 4.2 = 2.

</></></>