10 Bài tập Sử dụng trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông để chứng minh tính chất khác (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ABC và ∆MNP, có:

$\widehat {BAC} = \widehat {NMP} = 90^\circ$.

AB = MN (giả thiết).

CB = PN (giả thiết).

Do đó ∆ABC = ∆MNP (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Ta suy ra AC = MP (hai cạnh tương ứng).

Khi đó ta có MP = AC = 5 cm.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A:

Xét ∆AHB và ∆AHC, có:

$\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ$.

AH là cạnh chung.

AB = AC (giả thiết).

Do đó ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Ta suy ra đáp án A sai.

Đến đây ta có thể chọn đáp án A.

Đáp án B:

Ta có ∆AHB = ∆AHC (chứng minh trên).

Ta suy ra $\widehat {BAH} = \widehat {CAH}$ (cặp góc tương ứng).

Do đó AH là phân giác $\widehat {BAC}$.

Vậy đáp án B đúng.

Đáp án C:

Ta có ∆AHB = ∆AHC (chứng minh trên).

Ta suy ra BH = CH (cặp cạnh tương ứng).

Do đó đáp án C đúng.

Đáp án D:

Ta có ∆AHB = ∆AHC (chứng minh trên).

Ta suy ra $\widehat {ABH} = \widehat {ACH}$ (cặp góc tương ứng).

Do đó đáp án D đúng.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: D

Ta có ∆ABH = ∆ACK (giả thiết).

Ta suy ra $\widehat {HBA} = \widehat {KCA}$; HB = KC (cặp góc, cặp cạnh tương ứng).

Do đó đáp án A, B sai.

Ta có: ∆ABH = ∆ACK (giả thiết).

Mà $\widehat {ABH},\,\,\widehat {KAC}$ không phải cặp góc tương ứng.

Do đó $\widehat {ABH} \ne \widehat {KAC}$.

Suy ra đáp án C sai.

Ta có: ∆ABH = ∆ACK (giả thiết).

Ta suy ra AH = AK và AB = AC (các cặp góc tương ứng).

Do đó AB – AK = AC – AH.

Suy ra BK = CH (vì K ∈ AB, H ∈ AC).

Do đó đáp án D đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: C

Xét ∆BAH và ∆BDH, có:

$\widehat {BAH} = \widehat {BDH} = 90^\circ$.

BH là cạnh chung.

BA = BD (giả thiết).

Do đó ∆BAH = ∆BDH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Ta suy ra AH = DH (cặp cạnh tương ứng).

Xét ∆AHE và ∆DHC, có:

$\widehat {HAE} = \widehat {HDC} = 90^\circ$.

AH = DH (chứng minh trên).

$\widehat {AHE} = \widehat {DHC}$ (2 góc đối đỉnh).

Do đó ∆AHE = ∆DHC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Ta suy ra AE = DC.

Ta có BA = BD (giả thiết) và AE = DC (chứng minh trên).

Suy ra BA + AE = BD + DC.

Do đó BE = BD + DC = 5 + 3 = 8 (cm).

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆EFG và ∆MNP, có:

$\widehat {{\rm{GEF}}} = \widehat {PMN} = 90^\circ$.

GE = PM (giả thiết).

GF = PN (giả thiết).

Do đó ∆EFG = ∆MNP (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Ta suy ra $\widehat {{\rm{EGF}}} = \widehat {MPN}$ (cặp góc tương ứng).

Hay $\widehat {{\rm{EGF}}} = x$.

∆EFG vuông tại E: $\widehat {{\rm{EGF}}} + \widehat {EFG} = 90^\circ$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat {EGF} = 90^\circ - \widehat {EFG} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Do đó x = 30°.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: D

Xét ∆ABH và ∆DEK, có:

$\widehat {AHB} = \widehat {DKE} = 90^\circ$.

AB = DE (vì ∆ABC = ∆DEF).

$\widehat {ABH} = \widehat {DEK}$ (vì ∆ABC = ∆DEF).

Do đó ∆ABH = ∆DEK (cạnh huyền – góc nhọn).

Ta suy ra AH = DK; BH = EK và $\widehat {BAH} = \widehat {EDK}$ (các cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Do đó cả A, B, C đều đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ABD và ∆EBD, có:

$\widehat {BAD} = \widehat {BED} = 90^\circ$.

BD là cạnh chung.

$\widehat {ABD} = \widehat {EBD}$ (BD là phân giác của $\widehat {BAC}$).

Do đó ∆ABD = ∆EBD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AB = BE (cặp cạnh tương ứng).

Xét ∆ABH và ∆EBH, có:

AB = BE (chứng minh trên).

BH là cạnh chung.

$\widehat {ABH} = \widehat {EBH}$ (BD là phân giác của $\widehat {BAC}$).

Do đó ∆ABH = ∆EBH (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra $\widehat {AHB} = \widehat {BHE}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {AHB} + \widehat {BHE} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat {AHB} = \widehat {BHE} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$.

Do đó BH ⊥ AE.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Vì trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên ta có:

∆AEN vuông tại A: $\widehat {AEN} + \widehat {ANE} = 90^\circ$ (1).

∆BEM vuông tại B: $\widehat {BEM} + \widehat {BME} = 90^\circ$ (2).

Ta có $\widehat {AEN} = \widehat {BEM}$ (2 góc đối đỉnh) (3).

Từ (1), (2), (3), ta suy ra $\widehat {ANE} = \widehat {BME}$.

Do đó đáp án C đúng.

Xét ∆AEN và ∆BEM, có:

$\widehat {NAE} = \widehat {MBE} = 90^\circ$.

AN = BM (giả thiết).

$\widehat {ANE} = \widehat {BME}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆AEN = ∆BEM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Ta có ∆AEN = ∆BEM (chứng minh trên).

Suy ra EN = EM (hai cạnh tương ứng).

Khi đó E là trung điểm MN.

Do đó đáp án A đúng.

Ta có ∆AEN = ∆BEM (chứng minh trên).

Suy ra AE = BE (hai cạnh tương ứng).

Khi đó E là trung điểm AB.

Do đó đáp án B đúng.

Đáp án D sai vì AE, ME không phải là cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác bằng nhau ∆AEN và ∆BEM.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆BME và ∆CMF, có:

BM = CM (M là trung điểm BC).

$\widehat {BEM} = \widehat {CFM} = 90^\circ$.

$\widehat {BME} = \widehat {CMF}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆BME = ∆CMF (cạnh huyền – góc nhọn).

Ta suy ra ME = MF (cặp cạnh tương ứng).

Xét ∆BMF và ∆CME, có:

MF = ME (chứng minh trên).

BM = CM (M là trung điểm BC).

$\widehat {BMF} = \widehat {CME}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆BMF = ∆CME (cạnh – góc – cạnh).

Ta suy ra $\widehat {MBF} = \widehat {MCE}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Do đó ta có BF // CE.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Xét ∆HAB và ∆KDA, có:

$\widehat {AHB} = \widehat {DKA} = 90^\circ$.

AB = AD (giả thiết).

$\widehat {BAH} = \widehat {ADK}$ (cùng phụ với $\widehat {KAD}$).

Do đó ∆HAB = ∆KDA (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra HA = KD và BH = AK (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó (I) đúng.

Ta có: KD ⊥ AH (giả thiết) và HE ⊥ AH (giả thiết).

Suy ra KD // HE.

Có $\widehat {KDH},\,\,\widehat {EHD}$ ở vị trí so le trong.

Do đó $\widehat {KDH} = \widehat {EHD}$.

Xét ∆KDH và ∆EHD, có:

$\widehat {DKH} = \widehat {HED} = 90^\circ$.

HD là cạnh chung.

$\widehat {KDH} = \widehat {EHD}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆KDH = ∆EHD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra KD = EH (hai cạnh tương ứng)

Mà HA = KD (chứng minh trên).

Do đó HA = KD = HE. Suy ra (II) đúng.

Vậy ta chọn đáp án C.