10 Bài tập Sử dụng tính chất của lôgarit để biển đổi, rút gọn các biểu thức chứa biến (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, a ≠ 2 ta có: ${\log }_{\frac{a}{2}}(\frac{{a}^{2}}{4})={\log }_{\frac{a}{2}}(\frac{{a}^{2}}{{2}^{2}})={\log }_{\frac{a}{2}}{(\frac{a}{2})}^{2}=2.$

Đáp án đúng là: A

Với a > 0 ta có: ${\log }_{4}a={\log }_{4}{(\sqrt{a})}^{2}=2{\log }_{4}\sqrt{a}=2.16=32.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: log$_{a \frac{a}{b}}$ = log$_{a}$ a – log$_{a}$ b = 1 – log$_{a}$ b.

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, b > 0, c > 0, a ≠ 1 ta có:

log$_{a}$(b$^{2}$c$^{3}$) = log$_{a}$b$^{2}$ + log$_{a}$c$^{3}$ = 2log$_{a}$b + 3log$_{a}$c = 2.2 + 3.3 = 13.

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, b > 0 ta có:

log$_{2}$ $(\frac{2{a}^{3}}{b})$= log$_{2}$ 2a$^{3}$ – log$_{2}$ b

= log$_{2}$2 + log$_{2}$a$^{3}$ – log$_{2}$b

= 1 + 3log$_{2}$a – log$_{2}$b.

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, b > 0, a ≠ 1 và log$_{a}$ b = 5 thì

${\log }_{{a}^{2}b}(a{b}^{2})=\frac{{\log }_{a}(a{b}^{2})}{{\log }_{a}({a}^{2}b)}=\frac{{\log }_{a}a+{\log }_{a}{b}^{2}}{{\log }_{a}{a}^{2}+{\log }_{a}b}\ =\frac{1+2{\log }_{a}b}{2+lo{g}_{a}b}=\frac{1+2.5}{2+5}=\frac{11}{7}.$

Đáp án đúng là: D

Với a, b, c là các số thực dương, ta có:

$P=\log \frac{a}{b}+\log \frac{b}{c}+\log \frac{c}{d}-\log \frac{a}{d}\ =\log (\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d})-\log \frac{a}{d}=\log (\frac{a}{d}:\frac{a}{d})=\log 1=0.$

Đáp án đúng là: D

Với a > 0, b > 0 ta có:

a$^{2}$ + b$^{2}$ = 7ab hay a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$ = 9ab ⇒ (a + b)$^{2}$ = 9ab.

$\Rightarrow a+b=\sqrt{9ab}\Rightarrow a+b=3{(ab)}^{\frac{1}{2}}$(do a > 0, b > 0).

Xét: $\log (a+b)=\log [3{(ab)}^{\frac{1}{2}}]$

$=\log 3+\log {(ab)}^{\frac{1}{2}}\ =\log 3+\frac{1}{2}(\log a+\log b).$

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, a ≠ 1, ${a}^{\frac{1}{2}}=b$ ta có:

${\log }_{ab}(a\sqrt{b})={\log }_{a\cdot {a}^{\frac{1}{2}}}(a\sqrt{{a}^{\frac{1}{2}}})={\log }_{{a}^{\frac{3}{2}}}(a.{a}^{\frac{1}{4}})=\frac{2}{3}{\log }_{a}({a}^{1+\frac{1}{4}})$

$=\frac{2}{3}{\log }_{a}{a}^{\frac{5}{4}}=\frac{2}{3}.\frac{5}{4}=\frac{5}{6}.$

Đáp án đúng là: B

${\log }_{a\sqrt[3]{b}}(\sqrt[4]{a\sqrt{b}})=\frac{{\log }_{a}\sqrt[4]{a\sqrt{b}}}{{\log }_{a}a\sqrt[3]{b}}=\frac{{\log }_{a}\sqrt[4]{a{b}^{\frac{1}{2}}}}{{\log }_{a}(a{b}^{\frac{1}{3}})}=\frac{{\log }_{a}{(a{b}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{4}}}{{\log }_{a}(a{b}^{\frac{1}{3}})}$

$=\frac{{\log }_{a}({a}^{\frac{1}{4}}.{b}^{\frac{1}{2}.\frac{1}{4}})}{{\log }_{a}(a{b}^{\frac{1}{3}})}=\frac{{\log }_{a}({a}^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{8}})}{{\log }_{a}(a{b}^{\frac{1}{3}})}=\frac{{\log }_{a}{a}^{\frac{1}{4}}+{\log }_{a}{b}^{\frac{1}{8}}}{{\log }_{a}a+{\log }_{a}{b}^{\frac{1}{3}}}$

$=\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}{\log }_{a}b}{1+\frac{1}{3}{\log }_{a}b}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}.4}{1+\frac{1}{3}.4}=\frac{9}{28}.$