10 bài tập Số hạt còn lại và số hạt đã bị phân rã (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

$\Delta N = {N_0}(1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}) = \frac{{12}}{{60}}.6,{02.10^{23}}.(1 - {2^{ - \frac{{10{,}54}}{{5{,}27}}}}) = 9,{03.10^{22}}$ hạt nhân.

Hướng dẫn giải:

Số nguyên tử $_{84}^{210}{\rm{Po}}$ tại thời điểm ban đầu:

${N_0} = \frac{{{m_0}}}{A}{N_A} = \frac{{2{,}1}}{{210}}.6,{02.10^{23}} = 6,{02.10^{21}}$ nguyên tử.

Số nguyên tử $_2^4{\rm{He}}$ được tạo thành bằng số nguyên tử $_{84}^{210}{\rm{Po}}$ đã phân rã:

$\Delta N = {N_0} - N = {N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right)$

Số nguyên tử $_2^4{\rm{He}}$ được tạo thành trong một năm là:

$\Delta N = (0{,}0084\;{\rm{mol}}) \cdot \left( {6{,}02 \cdot {{10}^{23}}\frac{{{\rm{ nguy\^e n tu }}}}{{{\rm{mol}}}}} \right) = 5{,}06 \cdot {10^{21}}$ nguyên tử

Ta có: $\left( {1 - {2^{ - \frac{1}{T}}}} \right) = \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}} \Rightarrow {2^{ - \frac{1}{T}}} = 1 - \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}} \Rightarrow - \frac{1}{T} = {\log _2}\left( {1 - \frac{{\Delta N}}{{{N_0}}}} \right)$

T = 0,378 năm = 138 ngày.

Hướng dẫn giải:

${N_\alpha } = \frac{{{m_0}}}{{{A_{me}}}}{N_A}\left( {1 - {e^{ - \frac{{\ln 2}}{T}t}}} \right) \approx \frac{{{m_0}}}{{{A_{me}}}}{N_A}.\frac{{\ln 2}}{T}t$

$\Rightarrow 12400 \approx \frac{1}{{238}}.6,{023.10^{23}}.\frac{{\ln 2}}{R}\frac{{1\left( {nam} \right)}}{{365.86400}} \Rightarrow T = 4,{5.10^9}$ (năm).

Hướng dẫn giải:

Đến thời điểm t, số hạt nhân Po210 còn lại và số hạt nhân chì Pb208 tạo thành lần lượt là: $\left\{ \begin{array}{l}{N_{P0}} = {N_0}{e^{^{ - \frac{{\ln 2}}{T}t}}}\\{N_{Pb}} = \Delta N = {N_0}\left( {1 - {e^{ - \frac{{\ln 2}}{T}t}}} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow \frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{P0}}}} = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}t}} - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{P0}}}}} \right)_{{t_1}}} = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}} - 1 = 3 \Rightarrow {e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}} = 4\\{\left( {\frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{Po}}}}} \right)_2} = {e^{\frac{{\ln 1}}{T}{t_2}}} - 1 = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}\left( {{t_1} + 276} \right)}} - 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow {\left( {\frac{{{N_{Pb}}}}{{{N_{Po}}}}} \right)_2} = {e^{\frac{{\ln 2}}{T}{t_1}}}.4 - 1 = 15 \Rightarrow {\left( {\frac{{{N_P}}}{{{N_{Pb}}}}} \right)_{{t_2}}} = \frac{1}{{15}}.$

Đáp án đúng là A

${N_\alpha } = {N_0} \cdot \left( {1 - {2^{ - \frac{t}{{\;{\rm{T}}}}}}} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3 = {N_0} \cdot \left( {1 - {2^{ - \frac{2}{{\;{\rm{T}}}}}}} \right)}\\{15 = {N_0} \cdot \left( {1 - {2^{ - \frac{{17}}{{\;{\rm{T}}}}}}} \right)}\end{array} \Rightarrow \frac{3}{{15}} = \frac{{1 - {2^{ - \frac{2}{{\;{\rm{T}}}}}}}}{{1 - {2^{ - \frac{{17}}{{\;{\rm{T}}}}}}}} \Rightarrow T \approx 8{,}56\;{\rm{s}}} \right.$

$\Rightarrow \lambda = \frac{{\ln 2}}{T} = \frac{{\ln 2}}{{8{,}56}} \approx 0{,}081\;{{\rm{s}}^{ - 1}}$

Hướng dẫn giải:

Số hạt nhân con tạo thành bằng số hạt nhân mẹ đã bị phân rã.

Tại thời điểm ${t_1}$, ta có: $\frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}}}{{{N_{{\rm{Po}}}}}} = \frac{{1 - {2^{ - \frac{{{{\rm{t}}_1}}}{{\;{\rm{T}}}}}}}}{{{2^{ - \frac{{{t_1}}}{{\;{\rm{T}}}}}}}} = {2^{\frac{{{t_1}}}{{\;{\rm{T}}}}}} - 1 = 15 \Rightarrow {t_1} = 4T$.

Tại thời điểm ${t_2} = {t_1} + 966$, ta có: $\frac{{N_{{\rm{Pb}}}^\prime }}{{N_{{\rm{Po}}}^\prime }} = {2^{\frac{{{{\rm{t}}_2}}}{{\;{\rm{T}}}}}} - 1 = {2^{\frac{{4.138 + 966}}{{138}}}} - 1 = 2047.$

Hướng dẫn giải:

Số lượng hạt nhân $_{84}^{210}Po$ phân rã là:

$\Delta {N_{{\rm{Po}}}} = {N_{0({\rm{Po}})}}\left( {1 - {2^{ - \frac{{\rm{t}}}{{{{\rm{T}}_{{\rm{Po}}}}}}}}} \right) = \frac{{{m_{0({\rm{Po}})}}}}{{{A_{{\rm{Po}}}}}} \cdot {N_{\rm{A}}}\left( {1 - {2^{ - \frac{{\rm{t}}}{{{{\rm{T}}_{{\rm{Po}}}}}}}}} \right)$

$= \frac{1}{{210}} \cdot 6{,}022 \cdot {10^{23}} \cdot \left( {1 - {2^{ - \frac{1}{{138{,}4}}}}} \right) \approx 1{,}43 \cdot {10^{19}}$ hạt

Số lượng hạt nhân $_{53}^{131}$ I phân rã là:

$\Delta {N_{\rm{I}}} = {N_{{\rm{O}}({\rm{I}})}}\left( {1 - {2^{ - \frac{1}{{\;{{\rm{T}}_1}}}}}} \right) = \frac{{{m_{0(1)}}}}{{{A_{\rm{I}}}}} \cdot {N_{\rm{A}}}\left( {1 - {2^{ - \frac{{\rm{t}}}{{{T_1}}}}}} \right)$$= \frac{1}{{131}} \cdot 6{,}022 \cdot {10^{23}} \cdot \left( {1 - {2^{ - \frac{1}{{8{,}02}}}}} \right) \approx 3{,}81 \cdot {10^{20}}$hạt

Vậy máy đo bức xạ ứng với mẫu chất chứa $_{53}^{131}{\rm{I}}$ đếm được nhiều tín hiệu hơn.

Sau ${t_1} = 1$ năm đầu, ta có ${N_1} = \frac{1}{3}{N_0} = \frac{{{N_0}}}{{{2^{\frac{{{t_1}}}{T}}}}} = \frac{{{N_0}}}{{{2^{\frac{1}{T}}}}} \Rightarrow {2^{\frac{1}{T}}} = 3$

Sau 1 năm tiếp theo tương ứng với ${t_2} = 2$ năm, số hạt nhân còn lại chưa phân rã của chất phóng xạ đó là: ${N_1} = \frac{{{N_0}}}{{{2^{\frac{{{t_2}}}{T}}}}} = \frac{{{N_0}}}{{{2^{\frac{2}{T}}}}} = \frac{{{N_0}}}{{{{\left( {{2^{\frac{1}{T}}}} \right)}^2}}} = \frac{{{N_0}}}{{{3^2}}} = \frac{{{N_0}}}{9}$.

Số nguyên tử chứa trong $1{\rm{m}}{{\rm{g}}^{144}}{\rm{Ce}}$ là: ${{\rm{N}}_0} = \frac{{{m_0}}}{A}.{N_A} = \frac{{{{10}^{ - 3}}}}{{144}}.6,{023.10^{23}} = 4{,}182 \cdot {10^{18}}$

Số nguyên tử bị phân rã trong thời gian $t$ là:

$\Delta {\rm{N}} = {{\rm{N}}_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{t}{T}}}} \right) \Rightarrow 2,{5.10^{18}} = 4,{182.10^{18}}.\left( {1 - {2^{ - \frac{1}{T}}}} \right) \Rightarrow T = 0{,}76$ năm.

Đáp án đúng là A

Khoảng thời gian cần tìm là:

$\frac{{\Delta {N_{\rm{t}}}}}{{{N_{\rm{t}}}}} = \frac{{{N_0}\left( {1 - {2^{ - \frac{{\rm{t}}}{{\rm{T}}}}}} \right)}}{{{N_0}{2^{ - \frac{{\rm{t}}}{{\rm{T}}}}}}} = {2^{\frac{{\rm{t}}}{{\rm{T}}}}} - 1 = 7 \Rightarrow t = 3T = 3.138{,}4 = 415{,}2{\rm{ ng\`a y }}$