10 Bài tập Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức lượng giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

H = 2cos x – 3cos (π – x) + 5sin $\left( {\frac{{7\pi }}{2} - x} \right)$ + cot $\left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)$

= 2cos x + 3cos x + 5sin $\left( {2\pi + \pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)$ + cot $\left( {\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)$

= 5cos x + 5sin $\left( {\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)$ + cot $\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$

= 5cos x – 5sin $\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$ + tan x

= 5cos x – 5cos x + tan x

= tan x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

K = (1 – sin$^{2}$ x)cot$^{2}$ x + (1 – cot$^{2}$ x) = cot$^{2}$ x – sin$^{2}$ x.cot$^{2}$ x + 1 – cot$^{2}$ x

$=-{\sin }^{2}x.\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}+1$ = – cos$^{2}$ x + 1 = sin$^{2}$ x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

M = cos $(α-\frac{π}{2})$ + sin (α – π) = cos $(\frac{π}{2}-α)$ – sin α = sin α – sin α = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$P = \frac{{{{\left( {\sin \alpha - c{\rm{os}}\alpha } \right)}^2} - 1}}{{\cot \alpha - \sin \alpha c{\rm{os }}\alpha }}$$= \frac{{{{\sin }^2}\alpha - 2\sin \alpha c{\rm{os }}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - 1}}{{\frac{{{\rm{cos }}\alpha }}{{{\rm{sin }}\alpha }} - \sin \alpha \cos \alpha }}$

$= \frac{{ - 2\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha {\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha \cos \alpha }}$ $= \frac{{ - 2{{\sin }^2}\alpha c{\rm{os }}\alpha }}{{{\rm{cos }}\alpha \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)}}$ $= \frac{{ - 2{{\sin }^2}\alpha }}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}$

= $- 2{\tan ^2}\alpha$.

Vậy a = – 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

Q = sin$^{4}$ x – cos$^{4}$ x + 2cos$^{2}$ x = (sin$^{2}$ x – cos$^{2}$ x)( sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x) + 2cos$^{2}$ x

= sin$^{2}$ x – cos$^{2}$ x + 2cos$^{2}$ x = sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: tan$^{2}$ x – sin$^{2}$ x = $\frac{{\sin }^{2}x}{{\text{cos}}^{2}x}-{\sin }^{2}x={\sin }^{2}x(\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}-1)$

= sin$^{2}$ x(1 + tan$^{2}$ x – 1) = tan$^{2}$ x.sin$^{2}$ x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

L = sin$^{4}$ α – cos$^{4}$ α + 1 = (sin$^{2}$ α – cos$^{2}$ α)( sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α) + 1

= sin$^{2}$ α – cos$^{2}$ α + 1 = sin$^{2}$ α + (1 – cos$^{2}$ α)

= sin$^{2}$ α + sin$^{2}$ α = 2sin$^{2}$ α.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

T = $\frac{{\sin }^{3}α+c{\text{os}}^{3}α}{\sin α+c\text{os}α}$ = $\frac{(\sin α+c\text{os}α)({\sin }^{2}α-\sin α.\cos α+c{\text{os}}^{2}α)}{\sin α+c\text{os}α}$ = 1 – sin α.cos α.

Như vậy m = 1; n = – 1 ⇒ m + n = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có E = $\frac{1-2{\sin }^{2}x}{2{\cos }^{2}x-1}$ = $\frac{{\sin }^{2}x+c{\text{os}}^{2}x-2{\sin }^{2}x}{2{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x-c{\text{os}}^{2}x}$ = $\frac{{\text{cos}}^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\text{cos}}^{2}x-{\sin }^{2}x}$ = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

· Mệnh đề A đúng:

Giả sử A, B, C là số đo 3 góc của tam giác ABC, khi đó ta có:

A + B + C = 180°

⇒ B = 180° – (A + C)

⇒ sin B = sin [180° – (A + C)] = sin (A + C).

· Mệnh đề B đúng:

Ta có: A + B = 180° – C

⇒ cos (A + B) = cos (180° – C) = – cos C.

· Mệnh đề D đúng:

Ta có: A + B + C = 180°

⇒ A + B + 3C = 180° + 2C

⇒ $\frac{A+B+3C}{2}$ = $\frac{180^{\circ}+2C}{2}=90^{\circ}+C$

⇒ sin$(\frac{A+B+3C}{2})$ = sin (90° + C)

⇒ sin $(\frac{A+B+3C}{2})$ = cos (– C) = cos C.

· Mệnh đề C sai:

Ta có A + B = 180° – C

⇒ A + B – C = 180° – 2C

⇒ cos (A + B – C) = cos (180° – 2C) = – cos 2C.