10 Bài tập Phương trình đoạn chắn của đường thẳng (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng MN cắt hai trục tọa độ tại hai điểm M(–1; 0) và N(0; 2) nên phương trình đường thẳng MN theo đoạn chắn là: $\frac{x}{-1}+\frac{y}{2}=1$, tức là 2x – y + 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A(0; –3) và B(4; 0) có phương trình là: $\frac{x}{4}+\frac{y}{-3}=1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét đường thẳng d: 2x – y + 4 = 0.

Giao với trục Oy: Cho x = 0 ta có y = 4;

Giao với trục Ox: Cho y = 0 ta có x = –2.

Đường thẳng d cắt trục Ox tại A(–2; 0) và cắt trục Oy tại B(0; 4) có phương trình đoạn chắn là: $\frac{x}{-2}+\frac{y}{4}=1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có hình chiếu của điểm M(1; 2) lên Ox, Oy lần lượt là A(1; 0) và B(0; 2).

Do đó phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}=1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi điểm A thuộc vào trục Ox, điểm B thuộc vào trục Oy. Khi đó: A(a; 0) và B(0; b).

Phương trình đoạn chắn của đường thẳng AB là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Do tam giác OAB vuông cân tại O nên suy ra |a| = |b|. Xảy ra 2 trường hợp như sau:

⦁ Trường hợp 1.

Với b = a ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng AB là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$, tức là x + y – a = 0.

Mà Q(–1; –1) thuộc vào đường thẳng AB nên ta có: –1 – 1 – a = 0, suy ra a = –2 và b = –2.

Vậy phương trình đường thẳng AB là: x + y + 2 = 0.

⦁ Trường hợp 2.

Với b = –a ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng AB là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1\Leftrightarrow x-y=a$.

Mà Q(–1; –1) thuộc vào đường thẳng AB nên ta có: –1 + 1 – a = 0, suy ra a = 0 và b = 0 (loại vì khi đó ba điểm A, B, O trùng nhau).

Vậy phương trình đường thẳng AB là: x + y + 2 = 0.

Đáp án đúng là: C

Gọi A là điểm thuộc trục Ox, B là điểm thuộc trục Oy. Khi đó A(x$_{A}$; 0) và B(0; y$_{B}$).

Ta có M là trung điểm của AB suy ra: $\{\begin{matrix}{x}_{A}+{x}_{B}=2{x}_{M} \\ {y}_{A}+{y}_{B}=2{y}_{M}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}_{A}=-4 \\ {y}_{B}=14\end{matrix}$.

Do đó A(–4; 0) và B(0; 14).

Khi đó phương trình đoạn chắn của đường thẳng d là: $\frac{x}{-4}+\frac{y}{14}=1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B nên ta gọi A(x$_{A}$; 0) và B(0; y$_{B}$).

Vì B là trung điểm của AM với M(–4; 6) nên ta có

$\{\begin{matrix}{x}_{B}=\frac{{x}_{A}+{x}_{M}}{2} \\ {y}_{B}=\frac{{y}_{A}+{y}_{M}}{2}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}0=\frac{{x}_{A}-4}{2} \\ {y}_{B}=\frac{0+6}{2}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{x}_{A}=4 \\ {y}_{B}=3\end{matrix}.$ Do đó A(4; 0) và B(0; 3).

Khi đó phương trình đoạn chắn của đường thẳng d là: $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giả sử đường thẳng d có phương trình đoạn chắn $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ (với a, b ≠ 0).

Vì đường thẳng d chắn hai trục tọa độ hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau nên |a| = |b|.

⦁ Trường hợp 1. Nếu b = a thì ta có $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Vì M(1; 2) ∈ d nên $d:\frac{1}{a}+\frac{2}{a}=1\Leftrightarrow \frac{3}{a}=1\Leftrightarrow a=3.$ Suy ra b = 3.

Khi đó ta có $d:\frac{x}{3}+\frac{y}{3}=1.$

⦁ Trường hợp 2. Nếu b = –a thì ta có $d:\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1$

Vì M(1; 2) ∈ d nên $d:\frac{1}{a}+\frac{2}{-a}=1\Leftrightarrow \frac{-1}{a}=1\Leftrightarrow a=-1.$ Suy ra b = 1.

Khi đó ta có $d:\frac{x}{-1}+\frac{y}{1}=1.$

Trong các phương án, ta thấy phương án B là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi A(a; 0) và B(0; b) (với a > 0, b > 0).

Khi đó phương trình đoạn chắn của d có dạng: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.$

Đường thẳng d đi qua điểm M(3; 2) nên ta có $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1.$

Ta có diện tích tam giác OAB là: $S=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}|a|\cdot |b|=\frac{1}{2}ab.$

Áp dụng BĐT Cauchy, ta được

Suy ra S$_{OAB}$ ≥ 12.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{3}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=6 \\ b=4\end{matrix}.$

Vậy đường thẳng d có phương trình theo đoạn chắn là $\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1.$