10 Bài tập Phân tích một vectơ thành hai hay nhiều vectơ cho trước (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Theo đề bài: CN = 2BC nên $\overrightarrow{BN}=3\overrightarrow{BC}$

Ta có:

$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+3(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo đề bài:

AB = 3AM nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{MA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

CN = 2BC nên $\overrightarrow{BN}=3\overrightarrow{BC}$

Ta có:

$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+3(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=-2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=-\frac{7}{3}\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Theo đề bài ta có:

$\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AN}=\frac{5}{7}\overrightarrow{AM}$

Ta có:

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AB}+\frac{5}{7}\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+\frac{5}{7}(\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC})=-\frac{23}{28}\overrightarrow{AB}+\frac{15}{28}\overrightarrow{AC}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Theo đề bài ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC nên

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo đề bài ta có:

$\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{MN}=-\frac{2}{7}\overrightarrow{AM}$.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}$

Ta có:

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{MN}=-\frac{2}{7}\overrightarrow{AM}=-\frac{2}{7}(\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC})$

$=-\frac{1}{14}(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA})-\frac{3}{14}(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GA})$

$=-\frac{1}{14}(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA})-\frac{3}{14}(-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA})$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{GA}+\frac{1}{7}\overrightarrow{GB}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: CD = 2CN và N nằm trên cạnh CD nên $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$.

Mà ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$.

Do đó, $\overrightarrow{CN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì AB = 3AM và M nằm trên cạnh AB nên $\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

Ta có: $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Do đó ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì AB = 3AM và M nằm trên cạnh AB nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

Ta có: $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

G là trọng tâm tam giác MNB nên ta có:

$3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{AB}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{5}{18}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\frac{a}{b}=\frac{5}{18}$ và $\frac{c}{d}=\frac{1}{3}$.

Suy ra $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{5}{18}+\frac{1}{3}=\frac{11}{18}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MB}$

Mà $\overrightarrow{KM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ (vì MK là đường trung bình của tam giác ABC)

Do đó:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AK}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BM}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AK}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{u}-\frac{2}{3}\overrightarrow{v}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: $2\overrightarrow{IC}=3\overrightarrow{BI}$

$\Leftrightarrow 2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AI})=3(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB})$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AI}-3\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow 5\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$.