10 Bài tập Nhận biết và chứng minh tam giác cân, tam giác đều (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Xét ∆ABC có: AB = AC (giả thiết).

Suy ra ∆ABC cân tại A.

Xét ∆HIK có: HI ≠ IK ≠ HK (vì 3 cm ≠ 5 cm ≠ 4 cm).

Do đó ∆HIK không phải là tam giác cân.

Xét ∆DEF có: $\widehat {DEF} = \widehat {DFE} = 62^\circ$.

Suy ra ∆DEF cân tại D.

Khi đó hình trên có 2 tam giác cân là: ∆ABC và ∆DEF.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: C

Đáp án A, B, D đúng.

Đáp án C sai. Sửa lại:

Cách sửa 1: Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác đều, ta cần chứng minh tam giác đó có hai góc bằng 60°;

Cách sửa 2: Để nhận biết và chứng minh một tam giác là tam giác đều, ta cần chứng minh tam giác đó là một tam giác cân và có một góc bằng 60°.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: A

Vì ∆ABC cân tại A nên ta có AB = AC và $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$.

Xét ∆ABM và ∆ACN, có:

AB = AC (chứng minh trên).

$\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (chứng minh trên).

BM = CN (giả thiết).

Do đó ∆ABM = ∆ACN (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra AM = AN (cặp cạnh tương ứng).

Do đó ∆AMN cân tại A.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: D

Quan sát hình, ta thấy OM = ON = MN.

Do đó ∆OMN là tam giác đều.

Quan sát hình, ta thấy OM = PM.

Do đó ∆OPM là tam giác cân tại M.

Quan sát hình, ta thấy ON = NQ.

Do đó ∆ONQ là tam giác cân tại N.

Khi đó ta có: ∆OMN là tam giác đều; ∆OPM và ∆ONQ là các tam giác cân.

Do đó đáp án B, C đều đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Xét ∆OAB và ∆OAC, có:

$\widehat {ACO} = \widehat {ABO} = 90^\circ$.

OA là cạnh chung.

$\widehat {AOC} = \widehat {AOB}$ (OA là phân giác của $\widehat {xOy}$).

Do đó ∆OAB = ∆OAC (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AB = AC (cặp cạnh tương ứng).

Do đó ∆ABC cân tại A (1).

Ta có OA là phân giác của $\widehat {xOy}$.

Suy ra $\widehat {BOA} = \widehat {AOC} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ$.

∆OAB vuông tại B: $\widehat {BOA} + \widehat {OAB} = 90^\circ$.

Suy ra $\widehat {OAB} = 90^\circ - \widehat {BOA} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat {OAC} = 30^\circ$.

Do đó ta có $\widehat {OAB} + \widehat {OAC} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.

Ta suy ra $\widehat {BAC} = 60^\circ$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra ∆ABC là tam giác đều.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Xét ∆ABD và ∆ACE, có:

AB = AC (chứng minh trên).

$\widehat {BAC}$ là góc chung.

AD = AE (giả thiết).

Do đó ∆ABD = ∆ACE (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$ (cặp cạnh tương ứng).

Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$.

Suy ra $\widehat {ABD} + \widehat {DBC} = \widehat {ACE} + \widehat {ECB}$.

Mà $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$ (chứng minh trên).

Do đó $\widehat {DBC} = \widehat {ECB}$ hay $\widehat {IBC} = \widehat {ICB}$.

Khi đó ta có ∆IBC cân tại I.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Xét ∆EAD và ∆FAD, có:

AF = AE (giả thiết).

$\widehat {FAD} = \widehat {DAE}$ (AD là phân giác $\widehat {BAC}$).

AD là cạnh chung.

Do đó ∆EAD = ∆FAD (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra $\widehat {{E_2}} = \widehat {{F_2}}$.

Ta có $\widehat {{E_1}} + \widehat {{E_2}} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Lại có $\widehat {{F_1}} + \widehat {{F_2}} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Do đó ta có $\widehat {{E_1}} = \widehat {{F_1}}$ (1).

∆ABC vuông tại A: $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ$.

∆CDE vuông tại D: $\widehat {DEC} + \widehat {ACB} = 90^\circ$.

Do đó $\widehat {ABC} = \widehat {DEC}$ hay $\widehat {FBD} = \widehat {{E_1}}$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra $\widehat {FBD} = \widehat {{F_1}}$.

Do đó ∆FBD cân tại D.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: B

Ta thấy x ⊥ z và y ⊥ z (giả thiết).

Suy ra x // y.

Có $\widehat {ABC},\,\,\widehat {BCx}$ ở vị trí so le trong.

Do đó $\widehat {ABC} = \widehat {BCx} = 50^\circ$.

Ta có $\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat {ABD} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Xét ∆ABD, có: $\widehat {ABD} + \widehat {BAD} + \widehat {ADB} = 180^\circ$.

Suy ra $\widehat {ADB} = 180^\circ - \widehat {ABD} - \widehat {BAD} = 180^\circ - 130^\circ - 25^\circ = 25^\circ$.

Do đó $\widehat {ADB} = \widehat {BAD}$.

Khi đó ta được ∆ABD cân tại B.

Do đó đáp án B đúng.

Đáp án A sai vì $\widehat {ADB} = 25^\circ$ nên ∆ACD không phải là tam giác đều.

Đáp án C sai vì ba điểm B, C, D là ba điểm thẳng hàng nên không thể tạo thành một tam giác.

Đáp án D sai vì ta đã chứng minh được hình vẽ có ∆ABD cân tại B.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\widehat {PMN} = 90^\circ$ (∆MNP vuông tại M).

Suy ra $\widehat {PMH} + \widehat {HMN} = 90^\circ$.

Do đó $\widehat {HMN} = 90^\circ - \widehat {PMH} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ (1).

∆MNP vuông tại M: $\widehat {MNH} + \widehat {MPH} = 90^\circ$.

Suy ra $\widehat {MNH} = 90^\circ - \widehat {MPH} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra ∆MNH là tam giác đều.

Do đó đáp án D đúng.

Đáp án A sai vì ∆MNP là tam giác vuông tại M.

Đáp án B sai vì ba điểm P, N, H là ba điểm thẳng hàng nên không thể tạo thành một tam giác.

Đáp án C sai vì $\widehat {MPH} = \widehat {PMH} = 30^\circ$ nên ∆MPH cân tại H.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Vì ba điểm A, D, B thẳng hàng nên BD = AB – AD.

Vì ba điểm A, F, C thẳng hàng nên AF = AC – CF.

Ta có AB = AC (∆ABC đều) và AD = CF (giả thiết).

Do đó AB – AD = AC – CF.

Suy ra BD = AF.

Xét ∆ADF và ∆BED, có:

AD = BE (giả thiết).

BD = AF (chứng minh trên).

Do đó ∆ADF = ∆BED (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra $\widehat {FDA} = \widehat {DEB}$ (cặp góc tương ứng).

Xét ∆BDE, có: $\widehat {BDE} + \widehat {EBD} + \widehat {DEB} = 180^\circ$.

Suy ra $\widehat {BDE} + 60^\circ + \widehat {FDA} = 180^\circ$ (∆ABC đều).

Mà $\widehat {BDE} + \widehat {EDF} + \widehat {FDA} = 180^\circ$ (kề bù).

Do đó $\widehat {EDF} = 60^\circ$.

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat {DEF} = 60^\circ$.

Ta suy ra ∆DEF đều.

Do đó đáp án A đúng.

∆DEF là tam giác đều nên ∆DEF không thể là tam giác vuông (vì tam giác đều có các góc bằng nhau và cùng bằng 60°).

Do đó ta loại đáp án B, C, D.

Vậy ta chọn đáp án A.