10 bài tập Nguyên hàm có điều kiện có lời giải

Đáp án đúng là: D

$\int {\left( {2x + 3\sqrt x } \right)dx} = {x^2} + 2x\sqrt x + C$ mà F(1) = 0 C = −3.

Vậy $\int {\left( {2x + 3\sqrt x } \right)dx} = {x^2} + 2\sqrt {{x^3}} - 3$.

Đáp án đúng là: A

Có$F\left( x \right) = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)dx} = {x^2} + {e^x} + C$.

Mà F(0) = 2024 C = 2023 F(x) = x$^{2}$ + e$^{x}$ + 2023.

Đáp án đúng là: D

Ta có $F\left( x \right) = \int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C$;

Mà F(0) = 0 $C = - \frac{1}{2}$. Do đó $F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}$.

Khi đó $F\left( {\ln 3} \right) = \frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} - \frac{1}{2} = 4$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = - \cos x + \sin x + C$.

Do $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2} + C = 2 \Rightarrow C = 1$.

Do đó F(x) = −cosx + sinx + 1.

Đáp án đúng là: B

Ta có $F\left( x \right) = \int {\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} = \int {\left( {x - 6 + \frac{9}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + C$.

Vì $F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} - 6 + C = \frac{5}{2} \Rightarrow C = 8$.

Do đó $F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + 8$. Vậy F(2) = −2 + 9ln2.

Đáp án đúng là: B

Có $f\left( x \right) = \int {\left( {12{x^2} + 2} \right)dx} = 4{x^3} + 2x + {C_1}$.

Mà f(1) = 3 nên C$_{1}$ = −3 f(x) = 4x$^{3}$ + 2x – 3.

Có $F\left( x \right) = \int {\left( {4{x^3} + 2x - 3} \right)dx} = {x^4} + {x^2} - 3x + C$.

Lại có F(0) = 2 C = 2 F(x) = x$^{4}$ + x$^{2}$ – 3x + 2.

Khi đó F(1) = 1$^{4}$ + 1$^{2}$ – 3.1 + 2 = 1.

Đáp án đúng là: C

Ta có $f\left( x \right) = \int {\left( {3 - 5\sin x} \right)dx} = 3x + 5\cos x + C$.

Theo giả thiết f(0) = 10 nên 5 + C = 10 C = 5.

Vậy f(x) = 3x + 5cosx + 5.

Đáp án đúng là: D

Có $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{e^{2x}} + 1} \right)dx} = {e^{2x}} + x + C$.

Mà f(0) = 2 nên 1 + C = 2 C = 1

Vậy f(x) = e$^{2x}$ + x + 1.

Đáp án đúng là: C

Có $f\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + 2x + 1} \right)dx} = {e^x} + {x^2} + x + C$.

Vì f(0) = 1 nên C = 0. Suy ra f(x) = e$^{x}$ + x$^{2}$ + x.

Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) nên $F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + {x^2} + x} \right)dx} = {e^x} + \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + {C_1}$.

Lại có F(1) = e $\Rightarrow C = - \frac{5}{6}$. Do đó $F\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - \frac{5}{6}$.

Khi đó $F\left( 0 \right) = {e^0} - \frac{5}{6} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x - 3}}{{x - 2}}dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{{x - 2}}} \right)dx = 2x + \ln \left| {x - 2} \right| + C}$.

Có f(1) = 1 2 + ln1 + C$_{1}$ = 1 C$_{1}$ = −1.

f(3) = 2 6 + ln1 + C$_{2}$ = 2 C$_{2}$ = −4.

Vậy $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + \ln \left( {x - 2} \right) - 4\;khi\;x > 2\\2x + \ln \left( {2 - x} \right) - 1\;khi\;x < 2\end{array} \right.$.

Do đó f(0) + 2f(4) = ln2 – 1 + 2(4 + ln2) = 7 + 3ln2.

</>