10 bài tập Một số bài toán ứng dụng vectơ trong thực tiễn có lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow F = m\overrightarrow a \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = m\left| {\overrightarrow a } \right| = 0{,}5.20 = 10N$.

Vậy muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5 kg một gia tốc 20 m/s$^{2}$ thì cần một lực đá có độ lớn là 10 N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

+) Với gia tốc rơi tự do $\overrightarrow g$ có độ lớn là g = 9,8 (m/s2) thì độ lớn của trọng lực $\overrightarrow P = m\overrightarrow g$ tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là $\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 25.9{,}8 = 245\left( N \right)$.

+) Em nhỏ trượt từ điểm A tới điểm B nên khi đó góc giữa độ dịch chuyển $\overrightarrow d$ so với trọng lực $\overrightarrow P$ là $\left( {\overrightarrow d ,\overrightarrow P } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow P } \right) = 60^\circ$.

+) Ta có độ lớn của trọng lực $\overrightarrow P = m\overrightarrow g$ tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là $\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 25.9{,}8 = 245N$ nên công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow P$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là $A = \left| {\overrightarrow P } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = 245.3{,}5.\cos 60^\circ = 428{,}75\left( J \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi A$_{1}$,B$_{1}$, C$_{1}$ lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow {O{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {O{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {{F_3}}$.

Lấy các điểm D$_{1}$, A'$_{1}$,B'$_{1}$,D'$_{1}$ sao cho OA$_{1}$D$_{1}$B$_{1}$.C$_{1}$A'$_{1}$D'$_{1}$B'$_{1}$ là hình hộp (như hình vẽ).

Khi đó, áp dụng quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {O{{D'}_1}}$.

Mặt khác, do các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ đôi một vuông góc và $\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 15\left( N \right)$ nên hình hộp OA$_{1}$D$_{1}$B$_{1}$.C$_{1}$A'$_{1}$D'$_{1}$B'$_{1}$ có ba cạnh OA$_{1}$;OB$_{1}$; OC$_{1}$ đôi một vuông góc và bằng nhau.

Vì thế hình hộp là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15. Suy ra độ dài đường chéo OD'$_{1}$ của hình lập phương đó là $15\sqrt 3$.

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P$, ở đó $\overrightarrow P$ là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Suy ra trọng lượng của chiếc đèn là $\left| {\overrightarrow P } \right| = \left| {\overrightarrow {O{{D'}_1}} } \right| = 15\sqrt 3 \;\left( N \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow P = m\overrightarrow g$ nên $\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 5.10 = 50$ (N).

Vậy độ lớn của trọng lực $\overrightarrow P$ tác động lên chiếc đèn chùm là 50 N.

Gọi O là trọng tâm của chiếc đèn chùm cũng là chân đường cao hình chóp đều S.ABCD.

Vẽ $\overrightarrow {OP}$ biểu diễn trọng lực tác động lên đèn chùm với $OP \bot \left( {ABCD} \right)$.

Khi đó lực căng mỗi sợi xích sẽ là $\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {DS}$.

Chiếc đèn chùm đứng yên nên $\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {BS} + \overrightarrow {CS} + \overrightarrow {DS} + \overrightarrow {OP} = \overrightarrow 0$.

Suy ra $\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO}$$\Rightarrow SO = \frac{1}{4}OP = \frac{{50}}{4} = \frac{{25}}{2}$.

Tam giác SAC cân tại S có $\cos OSA = \frac{{SO}}{{SA}}$.

Suy ra lực căng của mỗi sợi dây xích là $SA = \frac{{SO}}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{\frac{{25}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{25\sqrt 3 }}{3}N$.

Bài 5. Nếu một vật có khối lượng m (kg) thì lực hấp dẫn $\overrightarrow P$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đổi 105 g = 0,105 kg.

Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên quả táo là:

$\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 0{,}105.9{,}8 = 1{,}029N$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow P = m\overrightarrow g$ nên $P = \left| {\overrightarrow P } \right| = m.\left| {\overrightarrow g } \right| = 10\sqrt 3 \left( N \right)$.

Bóng đèn ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow P + \overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} = \overrightarrow 0$ hay $\overrightarrow P = - \overrightarrow {T'}$ với $\overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} = \overrightarrow {T'}$.

Suy ra $T' = P = 10\sqrt 3 \left( N \right)$.

Khi đó ${\left| {\overrightarrow {T'} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{T_1}} ,\overrightarrow {{T_2}} } \right)$ mà $\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right|$ và $\left( {\overrightarrow {{T_1}} ,\overrightarrow {{T_2}} } \right) = 60^\circ$

$\Rightarrow {\left| {\overrightarrow {T'} } \right|^2} = 2{\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|^2} + 2{\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|^2}.\cos 60^\circ = 3{\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|^2}$.

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right| = \sqrt {\frac{1}{3}{{\left| {\overrightarrow {T'} } \right|}^2}} = \sqrt {\frac{1}{3}.{{\left( {10\sqrt 3 } \right)}^2}} = 10\left( N \right) = \left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right|$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mô hình hóa lại bài toán đã cho ta được:

Ta có $A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} - 2AB.BD.\cos 130^\circ = {50^2} + {40^2} - 2.50.40.\cos 130^\circ$

ÞAD ≈ 81,7.

Vậy tổng lực của Sơn và Minh tác động làm di chuyển khúc gỗ là $\left| {\overrightarrow F } \right| \approx 81{,}7$N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O lần lượt có độ lớn là 25 N, 12 N, 4 N.

Vẽ $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {{F_3}}$.

Dựng hình bình hành OADB và hình bình hành ODEC.

Hợp lực tác động vào vật là $\overrightarrow F = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OE}$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OBD ta có:

$O{D^2} = B{D^2} + O{B^2} - 2BD.OB.\cos OBD = O{A^2} + O{B^2} + 2OA.OB.\cos 100^\circ$.

Vì OC ^ (OADB) nên OC ^ OD suy ra ODEC là hình chữ nhật.

Do đó tam giác ODE vuông tại D.

Ta có $O{E^2} = O{C^2} + O{D^2} = O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB.\cos 100^\circ$.

Suy ra $OE = \sqrt {O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB.\cos 100^\circ }$

$OE = \sqrt {{4^2} + {{25}^2} + {{12}^2} + 2.25.12.\cos 100^\circ } \approx 26{,}092$.

Vậy độ lớn của hợp lực là $F = OE = 26\;N$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Khối lượng của vật là $m = \frac{P}{g} = \frac{{4{,}9}}{{9{,}8}} = 0{,}5\left( {kg} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có m > 0 nên $\overrightarrow F$ và $\overrightarrow a$ cùng hướng.

Ta có $\overrightarrow F = m.\overrightarrow a \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = m.\left| {\overrightarrow a } \right|$. Suy ra $\left| {\overrightarrow F } \right|$ và $\left| {\overrightarrow a } \right|$ tỷ lệ thuận với nhau.

Ta có m = 1kg; $\left| {\overrightarrow a } \right| = 20\left( {m/{s^2}} \right)$ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = m.\left| {\overrightarrow a } \right| = 1.20 = 20\left( N \right)$.

Ta có $\left| {\overrightarrow F } \right| = m.\left| {\overrightarrow a } \right| \Rightarrow m = \frac{{\left| {\overrightarrow F } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \frac{{50}}{{10}} = 5$ kg.